Determine uma fórmula para o termo geral
das sequências, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue e verifique quais sequências são convergentes.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede (i) uma fórmula para o termo geral
assumindo que esse padrão continue e (ii) verificar se a sequência é convergente.
Conteúdo: progressão geométrica e critério de convergência de sequências geométricas.
Conteúdo: progressão geométrica e critério de convergência de sequências geométricas.
Passo 2
Para reconhecer que é uma progressão geométrica, calculamos a razão entre o segundo e o primeiro termo:
O primeiro termo é
Passo 3
Numa progressão geométrica, o
-ésimo termo é dado por
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Uma sequência geométrica converge se, e somente se,
. Aqui
então a sequência é convergente. O seu limite é
Resposta
A fórmula do termo geral é
e a sequência é convergente, com