Determine uma fórmula para o termo geral an das sequências, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue e verifique quais sequências são convergentes.
12, 14, 18, 116, ldots

Passo 1

O enunciado pede para achar uma fórmula para o termo geral an da sequência
12,;14,;18,;116,;ldots
e depois verificar se ela é convergente. O conteúdo é progressão geométrica e limites de sequência.

Passo 2

Observe que cada termo é metade do anterior, pois
an+1an=tfrac12^n+1tfrac12^n=12
Logo, trata-se de uma PG de razão r=tfrac12 e primeiro termo a1=tfrac12. Pela fórmula da PG,
an = a1,r^,n-1 = 12l(12r)^n-1 = l(12r)^n

Passo 3

Para uma PG com lvert rrvert<1, sabemos que
limntoinftyr^n = 0
Como aqui r=tfrac12, temos
limntoinftyan = limntoinftyl(tfrac12r)^n = 0
Portanto a sequência converge.

Resposta

A fórmula geral é
an = l(tfrac12r)^n,
e a sequência é convergente, com
limntoinftyan=0.

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