Determine o uma fórmula para o termo padrão alphan das sequências:
-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1, cdots

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma fórmula fechada para o termo geral alphan da sequência
-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,dots
Aqui o conteúdo é identificação de periodicidade em sequências e uso de funções trigonométricas para gerar valores cíclicos.

Passo 2

Observe que a sequência se repete a cada 4 termos. Seja r o resto da divisão de n por 4, então
  • se r=1 temos alphan=-1,
  • se r=2 temos alphan=0,
  • se r=3 temos alphan=1,
  • se r=0 temos alphan=0.

Passo 3

Queremos uma função de n que produza -1,0,1,0 periodicamente. Sabemos que
sin!l(npi/2r)
gera a sequência 1,0,-1,0,1,0,-1,0,dots. Basta então multiplicar por -1 para inverter os sinais e obter
-1,0,1,0,-1,0,1,0,dots
o que coincide com nossa alphan.

Resposta

boxedalphan = -sin!l(npi/2r)

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