Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=1+2 x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
f(x,y)=1+2x^2+2y^2
ou seja, a superfície definida por z=f(x,y). Vamos identificar o tipo de superfície e suas características principais para depois desenhar.

Passo 2

Note que f(x,y) é a soma de quadrados com coeficiente positivo mais uma constante. Isso caracteriza um paraboloide elíptico. Em termos gerais, superfícies do tipo
z = A,x^2 + B,y^2 + C
com A>0 e B>0 são paraboloides elípticos que se abrem para cima.

Passo 3

Para encontrar o vértice e o eixo de simetria, basta ver onde os quadrados se anulam. Aqui x=0 e y=0 minimizam 2x^2+2y^2, e então
vértice em (x,y,z) = (0,0,1) é
O eixo de simetria é a reta que passa por (0,0,1) na direção do eixo z.

Passo 4

As curvas de nível (seções horizontais) para z=k são dadas por
k = 1 + 2x^2 + 2y^2 Longrightarrow x^2+y^2 = k-12
Para k>1 essas curvas são círculos centrados na origem do plano xy, de raio raiz(k-1)/2. À medida que k cresce, o raio aumenta—mostrando o “abertura” do paraboloide.

Passo 5

Para esboçar na prática:
  1. Marque o vértice em (0,0,1).
  2. Desenhe, no plano z=3, o círculo x^2+y^2=1 (raio 1) e, no plano z=5, o círculo x^2+y^2=2 (raio raiz2).
  3. Em planos verticais y=0 ou x=0, obtenha as parábolas z=1+2x^2 e z=1+2y^2.
    Ligando essas curvas suavemente, você vê um “chapéu” aberto para cima, isto é, um paraboloide elíptico.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=1+2x^2+2y^2 é um paraboloide elíptico de vértice (0,0,1) que se abre para cima, cujas curvas de nível são círculos x^2+y^2=(z-1)/2.

Exercícios relacionados