Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
ou seja, a superfície definida por
. Vamos identificar o tipo de superfície e suas características principais para depois desenhar.
Passo 2
Note que
é a soma de quadrados com coeficiente positivo mais uma constante. Isso caracteriza um paraboloide elíptico. Em termos gerais, superfícies do tipo
com
e
são paraboloides elípticos que se abrem para cima.
Passo 3
Para encontrar o vértice e o eixo de simetria, basta ver onde os quadrados se anulam. Aqui
e
minimizam
, e então
O eixo de simetria é a reta que passa por
na direção do eixo
.
Passo 4
As curvas de nível (seções horizontais) para
são dadas por
Para
essas curvas são círculos centrados na origem do plano
, de raio
. À medida que
cresce, o raio aumenta—mostrando o “abertura” do paraboloide.
Passo 5
Para esboçar na prática:
- Marque o vértice em
. - Desenhe, no plano
, o círculo (raio 1) e, no plano , o círculo (raio ). - Em planos verticais
ou , obtenha as parábolas e .
Ligando essas curvas suavemente, você vê um “chapéu” aberto para cima, isto é, um paraboloide elíptico.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide elíptico de vértice
que se abre para cima, cujas curvas de nível são círculos
.