Determine \frac{d^{2}}{d x^{2}}\left[x^{4}+2 x^{2}-5\right].

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
f(x)=x^{4}+2x^{2}-5.
O conteúdo aqui é a derivação sucessiva usando a regra do poder, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl[x^{n}\bigr]=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de primeira ordem f'(x). Aplicando a regra do poder termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x^{4}\bigr]+\frac{d}{dx}\bigl[2x^{2}\bigr]-\frac{d}{dx}\bigl[5\bigr]
f'(x)=4x^{3}+4x+0=4x^{3}+4x.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter a segunda derivada f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[4x^{3}+4x\bigr]
f''(x)=4\cdot3x^{2}+4\cdot1x^{0}=12x^{2}+4.

Resposta

f''(x)=12x^{2}+4.

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