Determine \frac{d y}{d x} para y=(1+\cos (2 x))^{-4}

Passo 1

O enunciado dá
y = (1 + \cos(2x))^{-4}
e pede \frac{dy}{dx}. Vamos usar a regra da cadeia, que diz que se y = [u(x)]^n então
\frac{dy}{dx} = n\,[u(x)]^{\,n-1}\,\frac{du}{dx},
e também a derivada de \cos(2x).

Passo 2

Identificamos
u(x) = 1 + \cos(2x), \quad n = -4.
Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = -4\,[1 + \cos(2x)]^{-5}\;\frac{d}{dx}\bigl(1 + \cos(2x)\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a derivada interna:
\frac{d}{dx}\bigl(1 + \cos(2x)\bigr) = 0 + \frac{d}{dx}\cos(2x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\,\sin(2x).

Passo 4

Substituindo na expressão de \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -4\,[1 + \cos(2x)]^{-5}\,\bigl(-2\,\sin(2x)\bigr) = 8\,\sin(2x)\,[1 + \cos(2x)]^{-5}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{8\,\sin(2x)}{\bigl(1 + \cos(2x)\bigr)^{5}}.

Exercícios relacionados