Use a 1{ }^{\text {a }} parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
z=\int_{\operatorname{tg} x}^{x^{2}} \frac{1}{\sqrt{2+t^{4}}} dt.

Passo 1

O enunciado dá
z = \int_{\tan x}^{\,x^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 + t^{4}}}\,dt
e pede \frac{dz}{dx}. O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo (1ª parte) combinado com a regra da cadeia para limites que dependem de x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
Z(x) = \int_{a(x)}^{\,b(x)} f(t)\,dt
então
Z'(x) = f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

Aqui f(t) = (2 + t^{4})^{-1/2},
b(x) = x^{2},\quad b'(x) = 2x,
a(x) = \tan x,\quad a'(x) = \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Substituindo na fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos
\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2 + (x^{2})^{4}}}\cdot 2x \;-\; \frac{1}{\sqrt{2 + (\tan x)^{4}}}\cdot \operatorname{sec}^{2}x.
Observando que (x^{2})^{4} = x^{8}, concluímos:

Resposta

\frac{dz}{dx} = \frac{2x}{\sqrt{2 + x^{8}}} \;-\; \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{2 + \tan^{4}x}}.

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