A segunda derivada de y=e^{x^{2}}, em relação a x, ou seja, a expressão de \frac{d^{2} y}{d x^{2}} (ou y^{\prime \prime} ), é igual a
Escolha uma opção:
4 x^{2} \cdot e^{x^{2}}
2 e^{x^{2}}\left(2 x^{2}+1\right)
x^{2}\left(x^{2}-1\right) e^{x^{2}-2}
e^{x^{2}}\left(2 x^{2}+1\right)
e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada de y = e^{x^{2}} em relação a x, ou seja, encontrar
y'' = \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.
O conteúdo envolvido é derivada de exponencial composta e o que vamos usar são a regra da cadeia e, no segundo passo, a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada y'. Como y = e^{x^{2}}, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u} é e^{u}u' e a derivada de u = x^{2} é 2x. Logo,
y' = 2x\,e^{x^{2}}.

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada y'' derivando y' = 2x\,e^{x^{2}}. Aqui usamos a regra do produto entre 2x e e^{x^{2}}. A derivada de 2x é 2 e a derivada de e^{x^{2}} já sabemos que é 2x\,e^{x^{2}}. Portanto,
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(2x\,e^{x^{2}}\bigr) = 2\,e^{x^{2}} + 2x\cdot\bigl(2x\,e^{x^{2}}\bigr).

Passo 4

Fazendo a simplificação,
y'' = 2\,e^{x^{2}} + 4x^{2}\,e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\bigl(2 + 4x^{2}\bigr) = 2\,e^{x^{2}}\bigl(1 + 2x^{2}\bigr) = 2\,e^{x^{2}}\bigl(2x^{2} + 1\bigr).

Resposta

2\,e^{x^{2}}\bigl(2x^{2} + 1\bigr)

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