A função f(x)=e^{-x^{2}} tem seu gráfico com a concavidade voltada para cima no(s) intervalo(s)
Escolha uma opção:
]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[
]-\infty,-\sqrt{2} / 2[ e ] \sqrt{2} / 2,+\infty[
]-\infty,-\sqrt{2}[ e ] \sqrt{2},+\infty[
]-0,7,0,7[
]-\infty,-2[ e ] 2,+\infty[

Passo 1

O enunciado pede os intervalos em que a função
f(x)=e^{-x^{2}}
é côncava para cima. Em cálculo, sabemos que a concavidade para cima ocorre quando a segunda derivada satisfaz
f''(x)>0.

Passo 2

Calcular a primeira e a segunda derivadas de f. Usando regra do produto e cadeia, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr)=-2x\,e^{-x^{2}},
e novamente derivando,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2x\,e^{-x^{2}}\bigr) =-2\,e^{-x^{2}}+(-2x)\bigl(-2x\,e^{-x^{2}}\bigr) =e^{-x^{2}}\,(4x^{2}-2).

Passo 3

Analisar o sinal de f''(x). Como e^{-x^{2}}>0 para todo x e o fator 4x^{2}-2 determina o sinal, temos
f''(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad 4x^{2}-2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}-1>0.

Passo 4

Resolver a desigualdade
2x^{2}-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}>\tfrac12 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|>\tfrac{1}{\sqrt2}.
Portanto a concavidade para cima ocorre em
x<-\tfrac{1}{\sqrt2} \quad\text{e}\quad x>\tfrac{1}{\sqrt2}.

Resposta

]- \infty, -\tfrac{\sqrt{2}}{2}[ e ] \tfrac{\sqrt{2}}{2}, +\infty[

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