Determine \frac{d y}{d x}
y=(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x)(\operatorname{sec} x-\operatorname{tg} x)

Passo 1

O enunciado dá a função y definida por
y=(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x)(\operatorname{sec} x-\operatorname{tg} x)
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a expressão é um produto de duas expressões trigonométricas que são conjugadas (soma e diferença). Não há outras condições.

Passo 2

Observação algébrica útil (fórmula da diferença de quadrados): para quaisquer a e b vale
(a+b)(a-b)=a^2-b^2.
Aqui podemos identificar a=\operatorname{sec} x e b=\operatorname{tg} x. Aplicando a fórmula,
y=(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x)(\operatorname{sec} x-\operatorname{tg} x)=\operatorname{sec}^2 x-\operatorname{tg}^2 x.

Passo 3

Agora use uma identidade trigonométrica fundamental. Partindo da identidade pitagórica \sin^2 x+\cos^2 x=1 e dividindo ambos os lados por \cos^2 x (lembrando que \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}), obtemos
\operatorname{tg}^2 x+1=\operatorname{sec}^2 x.
Rearranjando, temos
\operatorname{sec}^2 x-\operatorname{tg}^2 x=1.

Passo 4

Substituindo o resultado do passo anterior na expressão de y, concluímos que y é a constante
y=1.
Regra de derivada: a derivada de uma constante é zero. Portanto,
\frac{dy}{dx}=0.

Passo 5

(Fazendo um checape didático com regra do produto) Se quiser ver que isso bate com a derivação direta pelo produto, defina u=\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x e v=\operatorname{sec} x-\operatorname{tg} x. Então u'=\operatorname{sec} x\operatorname{tg} x+\operatorname{sec}^2 x e v'=\operatorname{sec} x\operatorname{tg} x-\operatorname{sec}^2 x. Pela regra do produto,
y'=u'v+uv'.
Expandindo e simplificando (mostrando passos):
u'v=(\operatorname{sec} x\operatorname{tg} x+\operatorname{sec}^2 x)(\operatorname{sec} x-\operatorname{tg} x)=\operatorname{sec}^3 x-\operatorname{sec} x\operatorname{tg}^2 x+\operatorname{sec}^2 x\operatorname{tg} x-\operatorname{sec}^2 x\operatorname{tg} x
= \operatorname{sec}^3 x-\operatorname{sec} x\operatorname{tg}^2 x,
uv'=(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x)(\operatorname{sec} x\operatorname{tg} x-\operatorname{sec}^2 x)= -\operatorname{sec}^3 x+\operatorname{sec} x\operatorname{tg}^2 x.
Somando u'v+uv' obtém-se 0. Logo y'=0, confirmando o resultado do passo anterior.

Resposta

0

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