Determine \frac{d y}{d x}.
y=\frac{e^{x^{2}}}{1+x^{2}}\

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada de y em relação a x. A função dada é
y=\frac{e^{x^{2}}}{1+x^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função no numerador é \,e^{x^{2}}\,.
  • A função no denominador é \,1+x^{2}\,.
  • Queremos \dfrac{d y}{d x}, isto é, a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: posso usar a regra do quociente diretamente ou reescrever y como produto e usar regra do produto combinada com a regra da cadeia. Vou optar por reescrever como produto porque assim eu ensino claramente duas regras fundamentais (produto e cadeia) que são muito úteis na prova e que ajudam a entender cada passo sem decorar fórmulas complexas.
Reescrevendo:
y = e^{x^{2}}\,(1+x^{2})^{-1}.
Defino as duas funções para aplicar a regra do produto:
u(x)=e^{x^{2}},\qquad v(x)=(1+x^{2})^{-1}.

Passo 3

Regra do produto (lembrete): se y=u\cdot v, então
\frac{d y}{d x}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando: derivada do produto é derivada da primeira vezes a segunda não derivada, somado com a primeira não derivada vezes a derivada da segunda.
Vou então calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=e^{x^{2}} usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (lembrete): se u(x)=e^{g(x)}, então u'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x). Aqui g(x)=x^{2} e g'(x)=2x. Logo
u'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}}.

Passo 5

Derivada de v(x)=(1+x^{2})^{-1} usando a regra da cadeia também.
Posso ver v(x)=h(k(x)) com h(t)=t^{-1} e k(x)=1+x^{2}. A derivada de h(t)=t^{-1} é h'(t)=-t^{-2}. A derivada de k(x)=1+x^{2} é k'(x)=2x. Aplicando a cadeia:
v'(x) = - (1+x^{2})^{-2}\cdot 2x = -2x\,(1+x^{2})^{-2}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto com os resultados obtidos:
\frac{d y}{d x} = u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
\frac{d y}{d x} = \bigl(2x\,e^{x^{2}}\bigr)\,(1+x^{2})^{-1} + e^{x^{2}}\bigl(-2x\,(1+x^{2})^{-2}\bigr).

Passo 7

Agora vamos simplificar passo a passo. Escrevendo ambos os termos com a mesma potência do denominador (1+x^{2})^{-2}:
\bigl(2x\,e^{x^{2}}\bigr)\,(1+x^{2})^{-1} = 2x\,e^{x^{2}}\,(1+x^{2})^{-2}(1+x^{2})
e o segundo termo é
-2x\,e^{x^{2}}\,(1+x^{2})^{-2}.
Somando-os:
\frac{d y}{d x} = 2x\,e^{x^{2}}\,(1+x^{2})^{-2}\bigl((1+x^{2}) - 1\bigr).
Como (1+x^{2})-1 = x^{2}, obtemos
\frac{d y}{d x} = 2x\,e^{x^{2}}\,(1+x^{2})^{-2}\,x^{2} = \frac{2x^{3}\,e^{x^{2}}}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 8

Interpretação final rápida (motivacional): a derivada ficou com um fator x^{3} no numerador, então em x=0 a derivada vale 0. A técnica usada (produto + cadeia) é prática e reaparece muito em prova — treina esse padrão: identificar uma parte exponencial e uma parte polinomial, derivar cada uma com cadeia quando necessário e depois simplificar fatorando termos comuns.

Resposta

\dfrac{2x^{3}\,e^{x^{2}}}{(1+x^{2})^{2}}

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