Determine
.
Passo 1
O problema pede para calcular a derivada de
em relação a
. A função dada é
Informações relevantes que temos:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - Queremos
, isto é, a taxa de variação de em relação a .
Passo 2
Escolha do método: posso usar a regra do quociente diretamente ou reescrever
como produto e usar regra do produto combinada com a regra da cadeia. Vou optar por reescrever como produto porque assim eu ensino claramente duas regras fundamentais (produto e cadeia) que são muito úteis na prova e que ajudam a entender cada passo sem decorar fórmulas complexas.
Reescrevendo:
Defino as duas funções para aplicar a regra do produto:
Passo 3
Regra do produto (lembrete): se
, então
Explicando: derivada do produto é derivada da primeira vezes a segunda não derivada, somado com a primeira não derivada vezes a derivada da segunda.
Vou então calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (lembrete): se , então
. Aqui
e
. Logo
Regra da cadeia (lembrete): se
Passo 5
Derivada de
usando a regra da cadeia também.
Posso ver com
e
. A derivada de
é
. A derivada de
é
. Aplicando a cadeia:
Posso ver
Passo 6
Aplicando a regra do produto com os resultados obtidos:
Passo 7
Agora vamos simplificar passo a passo. Escrevendo ambos os termos com a mesma potência do denominador
:
e o segundo termo é
Somando-os:
Como
, obtemos
Passo 8
Interpretação final rápida (motivacional): a derivada ficou com um fator
no numerador, então em
a derivada vale
. A técnica usada (produto + cadeia) é prática e reaparece muito em prova — treina esse padrão: identificar uma parte exponencial e uma parte polinomial, derivar cada uma com cadeia quando necessário e depois simplificar fatorando termos comuns.