Determine \frac{d y}{d x}.
y=\ln \left(x^{x}+1\right)

Passo 1

O que o problema pede: determinar \dfrac{d y}{d x} para a função dada.
O enunciado fornece:
y=\ln\!\bigl(x^{x}+1\bigr).
Informações relevantes tiradas do enunciado:
  • A função está escrita como o logaritmo natural de uma soma: y=\ln(u) com u=x^{x}+1.
  • Vai ser necessário derivar x^{x}, que exige cuidado (não é uma potência com base constante nem expoente constante).
    Observação prática para a prova: a expressão x^{x} e o logaritmo natural \ln(\cdot) estão usualmente definidos para x>0; nas contas a seguir assumimos x>0.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro (cadeia aplicada ao logaritmo): se y=\ln(u(x)) com u função de x, então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação dessa fórmula: a derivada do logaritmo natural é a derivada da função externa \ln(\cdot) avaliada em u, multiplicada pela derivada da função interna u. A derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t. Por isso aparece u'(x)/u(x).
Exemplo rápido e simples (para fixar): se y=\ln(3x) então u(x)=3x, u'(x)=3 e
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: tome
u(x)=x^{x}+1.
Então, pela regra do Passo 2,
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{u'(x)}{x^{x}+1}.
Portanto precisamos calcular u'(x). Observação: u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr)+\frac{d}{dx}(1). A derivada de 1 é 0, então resta derivar x^{x}.

Passo 4

Como derivar x^{x}: a técnica padrão é reescrever usando exponencial:
x^{x}=e^{\,x\ln x}.
Explicação: a^{b}=e^{b\ln a} para a>0; aqui a=x e b=x. Reescrever assim permite usar a regra da cadeia para a exponencial.
Agora derivamos e^{x\ln x}. A derivada de e^{v(x)} é e^{v(x)}\cdot v'(x). Tomando v(x)=x\ln x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x\ln x}\bigr) = e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr).

Passo 5

Derivada do expoente v(x)=x\ln x: aqui se usa a regra do produto, pois v(x)=x\cdot\ln x. A regra do produto diz que (fg)'=f'g+fg'. Aplicando:
  • f(x)=x tem f'(x)=1.
  • g(x)=\ln x tem g'(x)=\dfrac{1}{x}.
    Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Substituindo no passo anterior:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr)=e^{x\ln x}\cdot(\ln x + 1).
Voltando à forma original e^{x\ln x}=x^{x}, obtemos a fórmula útil e conhecida:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr)=x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 6

Voltando a u'(x): como u(x)=x^{x}+1 e \dfrac{d}{dx}(1)=0, temos
u'(x)=x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
Usando a fórmula do Passo 2 para \dfrac{dy}{dx} e substituindo u(x) e u'(x), chega-se ao resultado final (veja a seção de resposta).
Dica prática para a prova: memorize a derivada \dfrac{d}{dx}(x^{x})=x^{x}(\ln x+1) (válida para x>0); com isso a derivada de composições com \ln fica imediata.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr)}{x^{x}+1}.

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