Determine
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar
para a função dada.
O enunciado fornece:
O enunciado fornece:
Informações relevantes tiradas do enunciado:
- A função está escrita como o logaritmo natural de uma soma:
com . - Vai ser necessário derivar
, que exige cuidado (não é uma potência com base constante nem expoente constante).
Observação prática para a prova: a expressãoe o logaritmo natural estão usualmente definidos para ; nas contas a seguir assumimos .
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro (cadeia aplicada ao logaritmo): se
com
função de
, então
Explicação dessa fórmula: a derivada do logaritmo natural é a derivada da função externa
avaliada em
, multiplicada pela derivada da função interna
. A derivada de
em relação a
é
. Por isso aparece
.
Exemplo rápido e simples (para fixar): se
então
,
e
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: tome
Então, pela regra do Passo 2,
Portanto precisamos calcular
. Observação:
. A derivada de
é
, então resta derivar
.
Passo 4
Como derivar
: a técnica padrão é reescrever usando exponencial:
Explicação:
para
; aqui
e
. Reescrever assim permite usar a regra da cadeia para a exponencial.
Agora derivamos
. A derivada de
é
. Tomando
, obtemos
Passo 5
Derivada do expoente
: aqui se usa a regra do produto, pois
. A regra do produto diz que
. Aplicando:
-
tem . -
tem .
Logo
Substituindo no passo anterior:
Voltando à forma original
, obtemos a fórmula útil e conhecida:
Passo 6
Voltando a
: como
e
, temos
Usando a fórmula do Passo 2 para
e substituindo
e
, chega-se ao resultado final (veja a seção de resposta).
Dica prática para a prova: memorize a derivada
(válida para
); com isso a derivada de composições com
fica imediata.