Determine \frac{d y}{d x}.
y=\ln \left(\sqrt{x}+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função y=\ln\!\big(\sqrt{x}+x^{2}\big) e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes:
  • A função é escrita como logaritmo natural de uma soma: y=\ln(u(x)) com u(x)=\sqrt{x}+x^{2}.
  • A raiz \sqrt{x} exige x\ge 0, e o argumento do logaritmo exige u(x)>0. Para x>0 temos u(x)>0, então o domínio relevante para derivação é x>0.
  • O que se quer: a derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de x.

Passo 2

Regra que vamos usar (cadeia+logaritmo): para uma função composta y=\ln(u(x)) vale a fórmula
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: a derivada do logaritmo natural de uma função u(x) é a derivada de u dividida por u mesma. Aqui u(x) é a “parte de dentro” do log.

Passo 3

Identificar a função interna u(x). No nosso caso
u(x)=\sqrt{x}+x^{2}.
Para derivar com facilidade, escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2}. Assim
u(x)=x^{1/2}+x^{2}.

Passo 4

Derivar cada termo de u(x) usando a regra da potência: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}.
Aplicando ao primeiro termo x^{1/2}:
\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicação rápida: aqui n=\tfrac{1}{2}, então n-1=-\tfrac{1}{2}, o que dá x^{-1/2}, que é 1/\sqrt{x}.

Passo 5

Derivar o segundo termo x^{2} também pela regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.

Passo 6

Somando as derivadas termo a termo (a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 substituindo u(x) e u'(x):
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2x}{\sqrt{x}+x^{2}}.
Isto já é uma forma correta da derivada.

Passo 8

Se quiser uma forma sem frações dentro do numerador, multiplica-se numerador e denominador por 2\sqrt{x}. Fazendo isso:
\frac{dy}{dx} =\frac{\big(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2x\big)\,2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+x^{2})\,2\sqrt{x}} =\frac{1+4x^{3/2}}{2\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+x^{2})}.
Ambas as formas (a do Passo 7 e esta) são equivalentes; escolha a que achar mais clara no momento da prova.

Passo 9

Observação sobre domínio: a derivada apresentada é válida para x>0. Em x=0 a expressão não está definida por causa de \sqrt{x} no denominador.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2x}{\sqrt{x}+x^{2}}=\dfrac{1+4x^{3/2}}{2\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+x^{2})}

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