Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes:
- A função é escrita como logaritmo natural de uma soma:
com . - A raiz
exige , e o argumento do logaritmo exige . Para temos , então o domínio relevante para derivação é . - O que se quer: a derivada
em termos de .
Passo 2
Regra que vamos usar (cadeia+logaritmo): para uma função composta
vale a fórmula
Explicando: a derivada do logaritmo natural de uma função
é a derivada de
dividida por
mesma. Aqui
é a “parte de dentro” do log.
Passo 3
Identificar a função interna
. No nosso caso
Para derivar com facilidade, escrevemos
. Assim
Passo 4
Derivar cada termo de
usando a regra da potência: se
então
.
Aplicando ao primeiro termo
:
Explicação rápida: aqui
, então
, o que dá
, que é
.
Passo 5
Derivar o segundo termo
também pela regra da potência:
Passo 6
Somando as derivadas termo a termo (a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 substituindo
e
:
Isto já é uma forma correta da derivada.
Passo 8
Se quiser uma forma sem frações dentro do numerador, multiplica-se numerador e denominador por
. Fazendo isso:
Ambas as formas (a do Passo 7 e esta) são equivalentes; escolha a que achar mais clara no momento da prova.
Passo 9
Observação sobre domínio: a derivada apresentada é válida para
. Em
a expressão não está definida por causa de
no denominador.