Determine
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar
para a função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Precisa-se encontrar a derivada de
em relação a , ou seja .
Passo 2
O que é derivada, em poucas palavras úteis para a prova: a derivada de uma função
em relação a
mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto
. Usamos notações equivalentes como
,
ou
. Para calcular derivadas sem limites complicados, usamos regras que tornam o processo mecânico e rápido.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Regra da linearidade (soma e fator constante): a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando:
onde
e
são constantes e
são funções de
.
- Regra do termo constante: se
é constante então
Essas regras significam que podemos derivar cada termo da soma separadamente.
Passo 4
Regra do expoente (power rule), que usamos para potências de
: para todo inteiro
,
Explicação rápida (caso
, usando definição por diferença de quociente): calcular
Pelo binómio,
Dividindo por
e fazendo
,
Logo, para
a fórmula dá
. A mesma lógica geral leva a
.
Passo 5
Aplicando as regras termo a termo à função
:
- Para o termo
: usando a regra do expoente,
- Para o termo
: é uma constante multiplicando ; como ,
- Para o termo constante
:
Agora, somando as derivadas parciais obtidas (pela linearidade), a derivada de
é a soma das derivadas dos termos: