Determine \frac{d y}{d x}.
y=x^{4}-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede: determinar \dfrac{d y}{d x} para a função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é \;y = x^{4} - 3x + 2.
  • Precisa-se encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

O que é derivada, em poucas palavras úteis para a prova: a derivada de uma função y=f(x) em relação a x mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto x. Usamos notações equivalentes como \dfrac{d y}{d x}, y' ou \dfrac{d}{dx}f(x). Para calcular derivadas sem limites complicados, usamos regras que tornam o processo mecânico e rápido.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Regra da linearidade (soma e fator constante): a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem multiplicando:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\big) = a\frac{d}{dx}f(x) + b\frac{d}{dx}g(x),
onde a e b são constantes e f,g são funções de x.
  • Regra do termo constante: se C é constante então
\frac{d}{dx}C = 0.
Essas regras significam que podemos derivar cada termo da soma separadamente.

Passo 4

Regra do expoente (power rule), que usamos para potências de x: para todo inteiro n\ge 0,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big) = n\,x^{n-1}.
Explicação rápida (caso n=4, usando definição por diferença de quociente): calcular
\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}.
Pelo binómio,
(x+h)^{4}-x^{4}=4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}.
Dividindo por h e fazendo h\to 0,
\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}=\lim_{h\to 0}\big(4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3}\big)=4x^{3}.
Logo, para n=4 a fórmula dá \dfrac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}. A mesma lógica geral leva a \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}.

Passo 5

Aplicando as regras termo a termo à função \;y = x^{4} - 3x + 2:
  • Para o termo \;x^{4}: usando a regra do expoente,
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3}.
  • Para o termo -3x: é uma constante -3 multiplicando x; como \dfrac{d}{dx}(x)=1,
\frac{d}{dx}\big(-3x\big)=-3\cdot\frac{d}{dx}(x)=-3\cdot 1=-3.
  • Para o termo constante 2:
\frac{d}{dx}(2)=0.
Agora, somando as derivadas parciais obtidas (pela linearidade), a derivada de y é a soma das derivadas dos termos:
\frac{d y}{d x} = 4x^{3} - 3 + 0 = 4x^{3} - 3.

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=4x^{3}-3

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