Determine a taxa máxima de variação e a direção em que ela ocorre para
f(x, y)=e^{x y}
no ponto
(1,0).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{x y} e o ponto (1,0). O que ele pede:
  • Determinar a taxa máxima de variação de f naquele ponto (ou seja, o maior valor possível da derivada direcional).
  • Determinar a direção em que essa taxa máxima ocorre (normalizada, isto é, um vetor unitário indicando a direção).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=e^{x y}.
  • O ponto é (1,0).

Passo 2

Conceito chave que vamos usar (explicado devagar): a derivada direcional de f no ponto numa direção unitária \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f é o vetor gradiente, cujas componentes são as derivadas parciais de f.
  • \mathbf{u} é um vetor unitário da forma \mathbf{u}=(u_1,u_2) com \|\mathbf{u}\|=1.
    Por uma desigualdade simples (Cauchy–Schwarz), para vetores em \mathbb{R}^2 vale
\nabla f\cdot\mathbf{u}\le \|\nabla f\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\nabla f\|.
A igualdade ocorre quando \mathbf{u} tem a mesma direção do gradiente (isto é, \mathbf{u}=\nabla f/\|\nabla f\|). Portanto:
  • A taxa máxima de variação é \|\nabla f\| avaliada no ponto.
  • A direção onde isso ocorre é a direção do gradiente, dada pelo vetor unitário \nabla f/\|\nabla f\|.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x y}. Usamos regra da cadeia: para derivar em relação a x, trate y como constante; para derivar em relação a y, trate x como constante.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y\,e^{x y}.
    Explicação: derivada de e^{x y} em relação a x é e^{x y} vezes a derivada de x y em relação a x, que é y.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x\,e^{x y}.
    Explicação: análogo ao caso anterior, a derivada de x y em relação a y é x.
Assim o gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(y\,e^{x y},\;x\,e^{x y}\right).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,0). Substituímos x=1 e y=0:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=0\cdot e^{1\cdot0}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=1\cdot e^{1\cdot0}=1.
    Portanto
\nabla f(1,0)=(0,1).

Passo 5

Calcular a norma do gradiente no ponto, que é a taxa máxima de variação:
\|\nabla f(1,0)\|=\sqrt{0^2+1^2}=1.
Interpretação simples: a maior inclinação que a função f tem naquele ponto é 1.

Passo 6

Encontrar a direção (vetor unitário) em que a taxa máxima ocorre. Como vimos, é simplesmente o gradiente dividido pela sua norma:
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|}=\frac{(0,1)}{1}=(0,1).
Isto significa a direção do eixo y positivo. Na prática, seguir para cima (aumentando y) no ponto (1,0) é o movimento que produz o maior aumento instantâneo de f.

Passo 7

Recapitulando de forma prática (dica para prova): calcule sempre \nabla f, avalie no ponto pedido e então
  • taxa máxima = \|\nabla f\|,
  • direção = \nabla f/\|\nabla f\|.
    Aqui deu tudo simples porque e^{xy} gerou um gradiente direto e a avaliação em (1,0) eliminou uma componente, sobrando a direção vertical.

Resposta

Taxa máxima de variação: 1
Direção em que ocorre: (0,1)

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