Determine a taxa máxima de variação e a direção em que ela ocorre para
no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. O que ele pede:
- Determinar a taxa máxima de variação de
naquele ponto (ou seja, o maior valor possível da derivada direcional). - Determinar a direção em que essa taxa máxima ocorre (normalizada, isto é, um vetor unitário indicando a direção).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto é
.
Passo 2
Conceito chave que vamos usar (explicado devagar): a derivada direcional de
no ponto numa direção unitária
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e
:
Aqui:
-
é o vetor gradiente, cujas componentes são as derivadas parciais de . -
é um vetor unitário da forma com .
Por uma desigualdade simples (Cauchy–Schwarz), para vetores emvale
A igualdade ocorre quando
tem a mesma direção do gradiente (isto é,
). Portanto:
- A taxa máxima de variação é
avaliada no ponto. - A direção onde isso ocorre é a direção do gradiente, dada pelo vetor unitário
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Usamos regra da cadeia: para derivar em relação a
, trate
como constante; para derivar em relação a
, trate
como constante.
-
Explicação: derivada deem relação a é vezes a derivada de em relação a , que é . -
Explicação: análogo ao caso anterior, a derivada deem relação a é .
Assim o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituímos
e
:
-
-
Portanto
Passo 5
Calcular a norma do gradiente no ponto, que é a taxa máxima de variação:
Interpretação simples: a maior inclinação que a função
tem naquele ponto é
.
Passo 6
Encontrar a direção (vetor unitário) em que a taxa máxima ocorre. Como vimos, é simplesmente o gradiente dividido pela sua norma:
Isto significa a direção do eixo
positivo. Na prática, seguir para cima (aumentando
) no ponto
é o movimento que produz o maior aumento instantâneo de
.
Passo 7
Recapitulando de forma prática (dica para prova): calcule sempre
, avalie no ponto pedido e então
- taxa máxima =
, - direção =
.
Aqui deu tudo simples porquegerou um gradiente direto e a avaliação em eliminou uma componente, sobrando a direção vertical.
Resposta
Taxa máxima de variação:
Direção em que ocorre:
Direção em que ocorre: