Encontre todos os vetores unitários
tais que a derivada direcional de
no ponto
seja igual a zero.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
- Pede: encontrar todos os vetores unitários
tais que a derivada direcional de no ponto seja igual a zero. - Dados:
- A função
. - O ponto
. -
é um vetor unitário, ou seja .
- A função
- Objetivo claro: achar todos os pares
com tal que a derivada direcional de em na direção vale zero.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
- A derivada direcional de uma função
no ponto na direção de um vetor unitário é o quanto varia por unidade de deslocamento nessa direção. A fórmula prática e muito usada é:
onde
é o gradiente de
em
e
é o produto escalar.
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais:
Ele aponta na direção de máximo crescimento de
e é ortogonal às curvas de nível de
.
- Então, para ter
precisamos que seja ortogonal a (produto escalar zero).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e o gradiente:
-
. -
.
Logo,
Em particular, no ponto
temos
Passo 4
Escrever a condição
usando produto escalar:
- Pela fórmula,
- Queremos
, então
Isto diz que
deve ser ortogonal ao vetor
, ou seja,
tem componentes com soma zero.
Passo 5
Impor a condição de vetor unitário e resolver:
- Temos as duas equações simultâneas:
- Da primeira tiramos
. Substituindo na segunda:
- Portanto
. Com obtemos .]
Passo 6
Interpretação geométrica curta e incentivo:
- Geometricamente:
tem curvas de nível que são círculos centrados na origem; em o gradiente aponta radialmente para fora, e as direções onde a derivada direcional é zero são exatamente as tangentes ao círculo em , ou seja, as direções perpendiculares a . - Bom trabalho chegando até aqui — você já entendeu a conexão entre derivada direcional, gradiente e ortogonalidade. Vamos à resposta final.