Encontre todos os vetores unitários u tais que a derivada direcional de
f(x, y)=x^{2}+y^{2}
no ponto
(1,1)
seja igual a zero.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pede: encontrar todos os vetores unitários u tais que a derivada direcional de f(x,y)=x^{2}+y^{2} no ponto (1,1) seja igual a zero.
  • Dados:
    • A função f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
    • O ponto (1,1).
    • u=(u_{1},u_{2}) é um vetor unitário, ou seja \|u\|=1.
  • Objetivo claro: achar todos os pares (u_{1},u_{2}) com \,u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1 tal que a derivada direcional de f em (1,1) na direção u vale zero.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • A derivada direcional de uma função f no ponto P na direção de um vetor unitário u é o quanto f varia por unidade de deslocamento nessa direção. A fórmula prática e muito usada é:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Ele aponta na direção de máximo crescimento de f e é ortogonal às curvas de nível de f.
  • Então, para ter D_{u}f(P)=0 precisamos que \nabla f(P) seja ortogonal a u (produto escalar zero).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f e o gradiente:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
    Logo,
\nabla f(x,y)=(2x,2y).
Em particular, no ponto (1,1) temos
\nabla f(1,1)=(2,2).

Passo 4

Escrever a condição D_{u}f(1,1)=0 usando produto escalar:
  • Pela fórmula,
D_{u}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot u=(2,2)\cdot(u_{1},u_{2})=2u_{1}+2u_{2}.
  • Queremos D_{u}f(1,1)=0, então
2u_{1}+2u_{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad u_{1}+u_{2}=0.
Isto diz que u deve ser ortogonal ao vetor (2,2), ou seja, u tem componentes com soma zero.

Passo 5

Impor a condição de vetor unitário e resolver:
  • Temos as duas equações simultâneas:
\begin{cases} u_{1}+u_{2}=0,\\[4pt] u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1. \end{cases}
  • Da primeira tiramos u_{2}=-u_{1}. Substituindo na segunda:
u_{1}^{2}+(-u_{1})^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 2u_{1}^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad u_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Portanto u_{1}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Com u_{2}=-u_{1} obtemos u_{2}=\mp\dfrac{1}{\sqrt{2}}.]

Passo 6

Interpretação geométrica curta e incentivo:
  • Geometricamente: f(x,y)=x^{2}+y^{2} tem curvas de nível que são círculos centrados na origem; em (1,1) o gradiente (2,2) aponta radialmente para fora, e as direções onde a derivada direcional é zero são exatamente as tangentes ao círculo em (1,1), ou seja, as direções perpendiculares a (2,2).
  • Bom trabalho chegando até aqui — você já entendeu a conexão entre derivada direcional, gradiente e ortogonalidade. Vamos à resposta final.

Resposta

\displaystyle u=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)
\displaystyle u=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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