Determine \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} se x^{4}+y^{4}+z^{4}+12 x y z=1 usando a derivação implícita. { }^{\circ} \mathrm{o}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{4} + y^{4} + z^{4} + 12xyz = 1
e pede \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Vamos usar diferenciação implícita, tratando z como função de x e y.

Passo 2

Diferenciando a equação em relação a x, lembrando que y é constante e z=z(x,y), temos:
\frac{d}{dx}(x^{4}) + \frac{d}{dx}(y^{4}) + \frac{d}{dx}(z^{4}) + 12\frac{d}{dx}(x y z) = 0.
Isto dá
4x^{3} + 0 + 4z^{3}\,\frac{\partial z}{\partial x} + 12\bigl(y z + x y\,\frac{\partial z}{\partial x}\bigr)=0.
Agrupando os termos com \frac{\partial z}{\partial x}:
\Bigl(4z^{3} +12xy\Bigr)\frac{\partial z}{\partial x} + 4x^{3} +12yz = 0.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{4x^{3} +12yz}{4z^{3} +12xy} = -\frac{x^{3} +3yz}{z^{3} +3xy}.

Passo 3

Agora diferenciamos a equação original em relação a y, tratando x como constante e z=z(x,y):
\frac{d}{dy}(x^{4}) + \frac{d}{dy}(y^{4}) + \frac{d}{dy}(z^{4}) + 12\frac{d}{dy}(x y z) = 0.
Obtemos
0 + 4y^{3} + 4z^{3}\,\frac{\partial z}{\partial y} + 12\bigl(x z + x y\,\frac{\partial z}{\partial y}\bigr)=0.
Agrupando os termos com \frac{\partial z}{\partial y}:
\Bigl(4z^{3} +12xy\Bigr)\frac{\partial z}{\partial y} + 4y^{3} +12xz = 0.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{4y^{3} +12xz}{4z^{3} +12xy} = -\frac{y^{3} +3xz}{z^{3} +3xy}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x^{3} + 3yz}{z^{3} + 3xy}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y^{3} + 3xz}{z^{3} + 3xy}.

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