Questão 3 [3,0 pontos] Determine o que é pedido em cada item…
Dada z=\ln \left(\frac{y}{x}\right), x=\cos \left(t^{3}\right), y=\operatorname{sen}(4 t), determine \frac{d z}{d t} usando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado pede a derivada \frac{dz}{dt} de
z = \ln\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)
sendo
x = \cos\bigl(t^3\bigr), \quad y = \operatorname{sen}\bigl(4t\bigr).
O conteúdo envolve a regra da cadeia e derivada de logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos
z = \ln y - \ln x
e aplicamos a derivada em relação a t:
\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(\ln y) - \frac{d}{dt}(\ln x) = \frac{y'}{y} - \frac{x'}{x}.

Passo 3

Calculamos y' e x':
y = \operatorname{sen}(4t) \quad\Longrightarrow\quad y' = 4\cos(4t),
x = \cos(t^3) \quad\Longrightarrow\quad x' = -\operatorname{sen}(t^3)\,\cdot 3t^2 = -3t^2\,\operatorname{sen}(t^3).

Passo 4

Substituindo em \frac{dz}{dt} = \frac{y'}{y} - \frac{x'}{x}:
\frac{dz}{dt} = \frac{4\cos(4t)}{\operatorname{sen}(4t)} - \frac{-3t^2\,\operatorname{sen}(t^3)}{\cos(t^3)} = 4\cot(4t) + 3t^2\tan(t^3).

Resposta

\frac{dz}{dt} = 4\cot(4t) + 3t^2\tan(t^3).

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