Questão 3 [3,0 pontos] Determine o que é pedido em cada item…
Seja z=f\left(u^{2}+2 v, u^{2}-v^{2}\right). Determine \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} usando a regra da cadeia. of

Passo 1

O enunciado dá a função composta
z = f\bigl(u^{2}+2v,\;u^{2}-v^{2}\bigr)
e pede \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas parciais: precisamos expressar z em termos de variáveis intermediárias e usar suas derivadas.

Passo 2

Definimos as variáveis internas
x = u^{2} + 2v,
y = u^{2} - v^{2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
\frac{\partial x}{\partial u} = 2u,\quad \frac{\partial x}{\partial v} = 2,
\frac{\partial y}{\partial u} = 2u,\quad \frac{\partial y}{\partial v} = -2v.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para z=f(x,y):
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,\frac{\partial y}{\partial v}.

Passo 5

Substituindo x=u^2+2v, y=u^2-v^2 e as derivadas de x,y:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}(u^2+2v,\;u^2-v^2)\cdot 2u + \frac{\partial f}{\partial y}(u^2+2v,\;u^2-v^2)\cdot 2u = 2u\bigl(f_x + f_y\bigr),
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}(u^2+2v,\;u^2-v^2)\cdot 2 + \frac{\partial f}{\partial y}(u^2+2v,\;u^2-v^2)\cdot(-2v) = 2\,f_x - 2v\,f_y,
onde f_x e f_y são avaliados em \bigl(u^2+2v,\;u^2-v^2\bigr).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u} = 2u\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(u^2+2v,\;u^2-v^2) + \frac{\partial f}{\partial y}(u^2+2v,\;u^2-v^2)\Bigr),
\frac{\partial z}{\partial v} = 2\,\frac{\partial f}{\partial x}(u^2+2v,\;u^2-v^2) - 2v\,\frac{\partial f}{\partial y}(u^2+2v,\;u^2-v^2).

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