Explorando a distância até a origem.
A distância de um ponto ( x, y ) até a origem ( 0,0 ) no plano é dada pela fórmula:
d(x, y)=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}
Como a raiz quadrada é uma função crescente, minimizar ou maximizar \mathrm{d}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) é equivalente a minimizar ou maximizar a função f(x, y)=x^{2}+y^{2}, o quadrado da distância.
Portanto, a função f(x, y)=x^{2}+y^{2} modela o “tamanho” da posição de um ponto em relação à origem.
a) Calcule os pontos críticos da função f(x, y)=x^{2}+y^{2}.
b) Classifique o ponto encontrado: ele representa um mínimo, um máximo ou um ponto de sela?
c) O que esse resultado representa geometricamente?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
e pede:
– (a) encontrar os pontos críticos;
– (b) classificar cada ponto (mínimo, máximo ou sela);
– (c) interpretar geometricamente o resultado.
Para isso vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.
Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada a zero.

Passo 3

Resolvendo
2x=0, \quad 2y=0
obtemos
x=0, \quad y=0.
Logo, há um único ponto crítico em (0,0).

Passo 4

Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana de f:
Hf(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
Como os autovalores de Hf são 2>0 e 2>0, a Hessiana é definida positiva, indicando que (0,0) é um ponto de mínimo (neste caso, mínimo global).]

Passo 5

Geometricamente, f(x,y)=x^{2}+y^{2} é o quadrado da distância do ponto (x,y) até a origem. O fato de o mínimo ocorrer em (0,0) significa que o ponto mais próximo da origem é a própria origem, onde essa distância (e seu quadrado) é zero.

Resposta

(a) O único ponto crítico é (0,0).
(b) Esse ponto é um mínimo (global).
(c) Geometricamente, representa o ponto da menor distância até a origem, ou seja, a própria origem.

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