A distância de um ponto ( x, y ) até a origem ( 0,0 ) no plano é dada pela fórmula:
d(x, y)=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}
Como a raiz quadrada é uma função crescente, minimizar ou maximizar \mathrm{d}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) é equivalente a minimizar ou maximizar a função f(x, y)=x^{2}+y^{2}, o quadrado da distância.
Portanto, a função f(x, y)=x^{2}+y^{2} modela o “tamanho” da posição de um ponto em relação à origem.
a) Calcule os pontos críticos da função f(x, y)=x^{2}+y^{2}.
b) Classifique o ponto encontrado: ele representa um mínimo, um máximo ou um ponto de sela?
c) O que esse resultado representa geometricamente?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
e pede:
– (a) encontrar os pontos críticos;
– (b) classificar cada ponto (mínimo, máximo ou sela);
– (c) interpretar geometricamente o resultado.
Para isso vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.
Como os autovalores de Hf são 2>0 e 2>0, a Hessiana é definida positiva, indicando que (0,0) é um ponto de mínimo (neste caso, mínimo global).]
Passo 5
Geometricamente, f(x,y)=x^{2}+y^{2} é o quadrado da distância do ponto (x,y) até a origem. O fato de o mínimo ocorrer em (0,0) significa que o ponto mais próximo da origem é a própria origem, onde essa distância (e seu quadrado) é zero.
Resposta
(a) O único ponto crítico é (0,0).
(b) Esse ponto é um mínimo (global).
(c) Geometricamente, representa o ponto da menor distância até a origem, ou seja, a própria origem.