\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}-3 x+2}{3 x^{2}+3 x-6}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -2}\frac{x^3 - 3x + 2}{3x^2 + 3x - 6}.
Esse é um limite de função racional. Para resolver, vamos primeiro testar o valor direto em x=-2 e, se der indeterminação, usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Avaliamo-la diretamente em x=-2:
\text{numerador} = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0,
\text{denominador} = 3(-2)^2 + 3(-2) - 6 = 12 - 6 - 6 = 0.
Ficamos com a forma indeterminada 0/0, então precisamos fatorar numerador e denominador para cancelar o fator que gera a indeterminação.

Passo 3

Fatoramos o numerador:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2\,(x + 2).
E fatoramos o denominador:
3x^2 + 3x - 6 = 3\,(x^2 + x - 2) = 3\,(x - 1)\,(x + 2).

Passo 4

Cancelamos os fatores comuns (x+2) e (x-1):
\frac{x^3 - 3x + 2}{3x^2 + 3x - 6} = \frac{(x - 1)^2\,(x + 2)}{3\,(x - 1)\,(x + 2)} = \frac{x - 1}{3},\quad x\neq -2,1.
Agora o limite fica
\lim_{x\to -2}\frac{x - 1}{3} = \frac{-2 - 1}{3} = -1.

Resposta

-1

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