Determine \frac{\partial z}{\partial x}, se x^{2}+e^{x z}+\operatorname{sen}(x y)=\ln (z).

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{2}+e^{x z}+\operatorname{sen}(x y)=\ln(z)
e pede para determinar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}. Aqui devemos entender que z é uma função de x e y, isto é, z=z(x,y). Ao calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} estamos derivando parcialmente em relação a x mantendo y constante. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Equação: } x^{2}+e^{x z}+\operatorname{sen}(x y)=\ln(z).\\\ &\text{Variáveis independentes: }x,\;y.\\\ &\text{Variável dependente: }z=z(x,y).\\\ &\text{Queremos: } \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\\ \text{(derivada parcial de \(z\) em relação a \(x\)).} \end{aligned}çãááçã

Passo 2

Antes de derivar, recapitulando as regras que vamos usar (com explicação simples):
\text{Se }u=u(x)\text{, então }\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\cdot u'.ã
Aqui u pode depender de x via z(x,y). Para produto dentro do expoente, usamos a regra do produto: se u(x)=x\cdot z(x,y) então
\frac{d}{dx}\bigl(xz\bigr)=1\cdot z + x\cdot\frac{\partial z}{\partial x}.
Para a função seno, se v(x)=\sin(v) e v=u(x), então \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u'. No caso \sin(xy), como y é constante ao derivar em x, temos u(x)=xy e u'=y.
Para o logaritmo natural, se w=w(x) então
\frac{d}{dx}\ln(w)=\frac{1}{w}\,w'.
No nosso problema, w=z(x,y), logo aparece \dfrac{1}{z}\dfrac{\partial z}{\partial x}.

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é tratado como constante e z depende de x. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x z}\bigr) aplicamos a regra da cadeia: primeiro a derivada de e^{u} é e^{u} vezes a derivada do expoente u=xz. A derivada de xz em relação a x é z + x\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}. Assim
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x z}\bigr)=e^{x z}\bigl(z + x\frac{\partial z}{\partial x}\bigr).
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}(x y)\bigr) temos \cos(xy)\cdot y, pois y é constante:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}(x y)\bigr)=y\cos(xy).
  • Para o lado direito, \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(z)\bigr)=\dfrac{1}{z}\dfrac{\partial z}{\partial x}.
Reunindo tudo:
2x + e^{x z}\bigl(z + x\frac{\partial z}{\partial x}\bigr) + y\cos(xy) = \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}.

Passo 4

Agora vamos isolar todos os termos que contêm \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} num mesmo lado. Expandindo o termo com e^{xz}:
2x + e^{xz}z + e^{xz}x\frac{\partial z}{\partial x} + y\cos(xy) = \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}.
Subtraindo os termos sem \partial z/\partial x do lado esquerdo e agrupando os que têm \partial z/\partial x, obtemos
e^{xz}x\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x} = -\bigl(2x + e^{xz}z + y\cos(xy)\bigr).

Passo 5

Fatorando \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} no lado esquerdo:
\left(e^{xz}x - \frac{1}{z}\right)\frac{\partial z}{\partial x} = -\bigl(2x + e^{xz}z + y\cos(xy)\bigr).
Finalmente isolamos \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que ele não é zero):
\frac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{2x + e^{xz}z + y\cos(xy)}{e^{xz}x - \dfrac{1}{z}}.
Se preferir uma forma sem fração na parte do denominador, multiplicamos numerador e denominador por z e obtemos a forma equivalente
\frac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{z\bigl(2x + e^{xz}z + y\cos(xy)\bigr)}{x z e^{xz} - 1}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{2x + e^{xz}z + y\cos(xy)}{e^{xz}x - \dfrac{1}{z}}

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