Determine
, se
.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para determinar
. Aqui devemos entender que
é uma função de
e
, isto é,
. Ao calcular
estamos derivando parcialmente em relação a
mantendo
constante. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Antes de derivar, recapitulando as regras que vamos usar (com explicação simples):
Aqui
pode depender de
via
. Para produto dentro do expoente, usamos a regra do produto: se
então
Para a função seno, se
e
, então
. No caso
, como
é constante ao derivar em
, temos
e
.
Para o logaritmo natural, se então
Para o logaritmo natural, se
No nosso problema,
, logo aparece
.
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é tratado como constante e
depende de
. Derivando termo a termo:
-
- Para
aplicamos a regra da cadeia: primeiro a derivada de é vezes a derivada do expoente . A derivada de em relação a é . Assim
- Para
temos , pois é constante:
- Para o lado direito,
Reunindo tudo:
Passo 4
Agora vamos isolar todos os termos que contêm
num mesmo lado. Expandindo o termo com
:
Subtraindo os termos sem
do lado esquerdo e agrupando os que têm
, obtemos
Passo 5
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente isolamos
dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que ele não é zero):
Se preferir uma forma sem fração na parte do denominador, multiplicamos numerador e denominador por
e obtemos a forma equivalente