Determine o valor da integral imprópria
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas: a função integranda é
. O intervalo de integração vai de
até
. O que nos pedem é o valor numérico de
. Observação importante (só identificação do que foi dado): a função tem uma singularidade em
, mas
não pertence ao intervalo
, então não há singularidade interna ao intervalo: a impropriedade vem apenas do limite inferior ser
.
Passo 2
Definição da integral imprópria que vamos usar: quando um dos limites é infinito, convertemos a integral em um limite de integrais próprias. Escrevemos
Isso significa que primeiro calculamos
para
finito e depois fazemos
tender a
.
Passo 3
Precisamos de uma primitiva (antiderivada) de
. Uma observação útil é notar que a derivada de
é exatamente
. Vou mostrar isso passo a passo:
Considere .
Então
Considere
Então
Como
, obtemos
Logo uma primitiva é
Passo 4
Agora aplicamos a primitiva ao integral com limite
finito:
Calculemos os termos:
. Então a expressão fica
Passo 5
Agora fazemos o limite quando
:
quando , o termo
, portanto
quando
Assim
Interpretando: a área acumulada desde
até
sob a curva
converge e vale
.
Passo 6
Dica prática para provas: quando vir integrais do tipo
, lembre que a primitiva é
. Para integrais com limite infinito, sempre passe para o limite de uma integral com limite finito e verifique se os termos que envolvem o infinito tendem a zero.