Determine o valor da integral imprópria
\mathrm{I}=\int_{-\infty}^{3} \frac{d x}{(6-x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I=\int_{-\infty}^{3}\frac{dx}{(6-x)^{2}}.
Informações dadas: a função integranda é \dfrac{1}{(6-x)^{2}}. O intervalo de integração vai de -\infty até 3. O que nos pedem é o valor numérico de I. Observação importante (só identificação do que foi dado): a função tem uma singularidade em x=6, mas x=6 não pertence ao intervalo (-\infty,3], então não há singularidade interna ao intervalo: a impropriedade vem apenas do limite inferior ser -\infty.

Passo 2

Definição da integral imprópria que vamos usar: quando um dos limites é infinito, convertemos a integral em um limite de integrais próprias. Escrevemos
I=\lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{3}\frac{dx}{(6-x)^{2}}.
Isso significa que primeiro calculamos \int_{A}^{3}\frac{dx}{(6-x)^{2}} para A finito e depois fazemos A tender a -\infty.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{(6-x)^{2}}. Uma observação útil é notar que a derivada de \dfrac{1}{6-x} é exatamente \dfrac{1}{(6-x)^{2}}. Vou mostrar isso passo a passo:
Considere F(x)=\dfrac{1}{6-x}=(6-x)^{-1}.
Então
F'(x) = -1\cdot(6-x)^{-2}\cdot(6-x)'.
Como (6-x)'=-1, obtemos
F'(x) = -1\cdot(6-x)^{-2}\cdot(-1) = (6-x)^{-2}=\frac{1}{(6-x)^{2}}.
Logo uma primitiva é
\boxed{F(x)=\frac{1}{6-x}}.

Passo 4

Agora aplicamos a primitiva ao integral com limite A finito:
\int_{A}^{3}\frac{dx}{(6-x)^{2}}=\left[\frac{1}{6-x}\right]_{x=A}^{x=3} =\frac{1}{6-3}-\frac{1}{6-A}.
Calculemos os termos: \dfrac{1}{6-3}=\dfrac{1}{3}. Então a expressão fica
\int_{A}^{3}\frac{dx}{(6-x)^{2}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6-A}.

Passo 5

Agora fazemos o limite quando A\to-\infty:
quando A\to-\infty, o termo 6-A\to+\infty, portanto
\frac{1}{6-A}\to 0.
Assim
I=\lim_{A\to-\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6-A}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.
Interpretando: a área acumulada desde -\infty até 3 sob a curva \dfrac{1}{(6-x)^{2}} converge e vale \dfrac{1}{3}.

Passo 6

Dica prática para provas: quando vir integrais do tipo \int \dfrac{dx}{(a-x)^{2}}, lembre que a primitiva é \dfrac{1}{a-x}. Para integrais com limite infinito, sempre passe para o limite de uma integral com limite finito e verifique se os termos que envolvem o infinito tendem a zero.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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