Deter mine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x=-1 da região limitada pelas curvas
\mathrm{x}^{2}=y-2 ; 2 y-x-2=0 e pelas retas \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x=-1, da região limitada por: a parábola \mathrm{x}^{2}=y-2, a reta 2y-x-2=0 e as retas verticais \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=1.
Informações fornecidas (reescritas de forma explícita):
\text{parábola: } y = x^{2}+2á
\text{reta: } y=\frac{x+2}{2}
\text{intervalo vertical em } x:\; 0\le x\le 1
\text{eixo de rotação: } x=-1.çã
A tarefa é calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Precisamos saber, para 0\le x\le 1, qual curva está acima (topo) e qual está abaixo (base) para determinar a altura da região em função de x. Calculamos a diferença
y_{\text{parábola}}-y_{\text{reta}} = \left(x^{2}+2\right)-\frac{x+2}{2}.á
Faço a subtração passo a passo:
\left(x^{2}+2\right)-\frac{x+2}{2}=\frac{2x^{2}+4-(x+2)}{2}=\frac{2x^{2}-x+2}{2}.
O polinômio 2x^{2}-x+2 tem discriminante \Delta = (-1)^{2}-4\cdot2\cdot2 = 1-16=-15<0, logo é sempre positivo. Portanto \frac{2x^{2}-x+2}{2}>0 para todo x, e concluímos que, no intervalo 0\le x\le1, a parábola está sempre acima da reta. Assim:
\text{topo: } y_{\text{top}}=x^{2}+2,\qquad \text{base: } y_{\text{bot}}=\frac{x+2}{2}.

Passo 3

Escolha do método de cálculo do volume: como o eixo de rotação é a reta vertical x=-1 e a região é naturalmente descrita por x variando em [0,1], o método dos casquilhos cilíndricos (método das cascas) é o mais direto. Vou explicar a fórmula e os termos:
Método das cascas (para rotação em torno de uma reta vertical x=c): considere uma vertical elementar em x de espessura dx. Ao girar essa tira em torno de x=c ela gera uma casca cilíndrica cujo:
  • raio é r(x)=|x-c| (distância horizontal até o eixo),
  • altura é h(x)=y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x),
  • espessura é dx.
O volume de uma casca elementar é aproximadamente \text{área lateral}\times dx = 2\pi r(x) h(x)\,dxá. Integrando de x=a a x=b obtemos
V = 2\pi \int_{a}^{b} r(x)\,h(x)\,dx.
No nosso caso c=-1, a=0, b=1, então r(x)=x-(-1)=x+1.

Passo 4

Calculo explícito da altura h(x):
h(x)=y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}=\left(x^{2}+2\right)-\frac{x+2}{2}=\frac{2x^{2}-x+2}{2}.

Passo 5

Escrevo a integral do volume usando a fórmula das cascas:
V = 2\pi \int_{0}^{1} (x+1)\,h(x)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} (x+1)\cdot\frac{2x^{2}-x+2}{2}\,dx.
Simplifico o integrando passo a passo. Primeiro multiplico:
(x+1)(2x^{2}-x+2)=2x^{3}+x^{2}+x+2.
Dividindo por 2 (por causa do denominador em h(x)):
(x+1)\cdot\frac{2x^{2}-x+2}{2}=x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1.
Portanto a integral fica
V = 2\pi \int_{0}^{1} \left(x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1\right)\,dx.

Passo 6

Calculo a primitiva termo a termo (explicando cada passo):
  • Para \int x^{3}\,dx a antiderivada é \frac{x^{4}}{4} porque derivando \frac{x^{4}}{4} volta x^{3}.
  • Para \int \frac{1}{2}x^{2}\,dx a antiderivada é \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{6}.
  • Para \int \frac{1}{2}x\,dx a antiderivada é \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}.
  • Para \int 1\,dx a antiderivada é x.
Somando:
\int_{0}^{1}\left(x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1\right)\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{4}+x\right]_{0}^{1}.
Avalio em 1 e subtraio o valor em 0:
\frac{1^{4}}{4}+\frac{1^{3}}{6}+\frac{1^{2}}{4}+1 = \frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+1.
Somando as frações: \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}. Então \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}. Finalmente \frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}.
Portanto a integral vale \frac{5}{3}.

Passo 7

Multiplico pelo fator 2\pi que estava fora da integral:
V = 2\pi \cdot \frac{5}{3} = \frac{10\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{10\pi}{3}

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