Deter mine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
da região limitada pelas curvas
e pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada por: a parábola
, a reta
e as retas verticais
e
.
Informações fornecidas (reescritas de forma explícita):
Informações fornecidas (reescritas de forma explícita):
A tarefa é calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Precisamos saber, para
, qual curva está acima (topo) e qual está abaixo (base) para determinar a altura da região em função de
. Calculamos a diferença
Faço a subtração passo a passo:
O polinômio
tem discriminante
, logo é sempre positivo. Portanto
para todo
, e concluímos que, no intervalo
, a parábola está sempre acima da reta. Assim:
Passo 3
Escolha do método de cálculo do volume: como o eixo de rotação é a reta vertical
e a região é naturalmente descrita por
variando em
, o método dos casquilhos cilíndricos (método das cascas) é o mais direto. Vou explicar a fórmula e os termos:
Método das cascas (para rotação em torno de uma reta vertical
): considere uma vertical elementar em
de espessura
. Ao girar essa tira em torno de
ela gera uma casca cilíndrica cujo:
- raio é
(distância horizontal até o eixo), - altura é
, - espessura é
.
O volume de uma casca elementar é aproximadamente
. Integrando de
a
obtemos
No nosso caso
,
,
, então
.
Passo 4
Calculo explícito da altura
:
Passo 5
Escrevo a integral do volume usando a fórmula das cascas:
Simplifico o integrando passo a passo. Primeiro multiplico:
Dividindo por
(por causa do denominador em
):
Portanto a integral fica
Passo 6
Calculo a primitiva termo a termo (explicando cada passo):
- Para
a antiderivada é porque derivando volta . - Para
a antiderivada é . - Para
a antiderivada é . - Para
a antiderivada é .
Somando:
Avalio em
e subtraio o valor em
:
Somando as frações:
. Então
. Finalmente
.
Portanto a integral vale .
Portanto a integral vale
Passo 7
Multiplico pelo fator
que estava fora da integral: