Resolva os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Para equações lineares com coeficientes constantes, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo nessa equação obtemos a equação característica
Usamos a fórmula quadrática para resolver:
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, a solução geral real da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explico por que:
, e combinar as partes real e imaginária gera as funções
e
, que são soluções reais linearmente independentes.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
O lado direito é
, que sugere tentar uma solução particular da forma
, com
constante. Antes de usar, verificamos uma regra importante: se
for solução da homogênea (ou seja, se
for raiz da característica), deveríamos multiplicar por
. Aqui
e as raízes da característica são
, portanto
não é raiz — posso então tentar
.
Calculemos derivadas:
Substituindo na equação:
Dividindo por
(sempre positivo), obtemos
Logo
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
com
e
a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Calculamos
:
Como
, segue
Passo 6
Agora aplicamos
. Precisamos da derivada
. Seja
, então
. Usando a regra do produto:
Calcule
:
Logo
Portanto
A derivada da parte particular é
Assim a derivada total é
Avaliamo-la em
:
Como
, obtemos
Substituindo
temos
portanto
Passo 7
Substituímos
e
na solução geral. Assim
Podemos escrever de forma factorada:
Essa é a solução que satisfaz ambas as condições iniciais.