Resolva os problemas de valor inicial
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{t}, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
y''+2y'+2y=e^{t}, \qquad y(0)=0,\; y'(0)=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{EQUAÇÃO: } y''+2y'+2y=e^{t}.ÇÃ
\text{CONDIÇÕES INICIAIS: } y(0)=0,\; y'(0)=0.ÇÕ

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y''+2y'+2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, assumimos uma solução do tipo y=e^{rt}. Substituindo nessa equação obtemos a equação característica
r^{2}+2r+2=0.
Usamos a fórmula quadrática para resolver:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=-1\pm i.
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas r=-1\pm i, a solução geral real da homogênea é
y_{h}(t)=e^{-t}\big(A\cos t+B\sin t\big),
onde A e B são constantes arbitrárias. Explico por que: e^{(-1+i)t}=e^{-t}(\cos t+i\sin t), e combinar as partes real e imaginária gera as funções e^{-t}\cos t e e^{-t}\sin t, que são soluções reais linearmente independentes.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p}(t) da equação completa
y''+2y'+2y=e^{t}.
O lado direito é e^{t}, que sugere tentar uma solução particular da forma y_{p}=C e^{t}, com C constante. Antes de usar, verificamos uma regra importante: se e^{at} for solução da homogênea (ou seja, se r=a for raiz da característica), deveríamos multiplicar por t. Aqui a=1 e as raízes da característica são -1\pm i, portanto a=1 não é raiz — posso então tentar y_{p}=C e^{t}.
Calculemos derivadas:
y_{p}'=C e^{t},\qquad y_{p}''=C e^{t}.
Substituindo na equação:
C e^{t}+2C e^{t}+2C e^{t}=5C e^{t}=e^{t}.
Dividindo por e^{t} (sempre positivo), obtemos
5C=1\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{5}.
Logo
y_{p}(t)=\frac{1}{5}e^{t}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=e^{-t}\big(A\cos t+B\sin t\big)+\frac{1}{5}e^{t},
com A e B a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Calculamos y(0):
y(0)=e^{0}\big(A\cos 0 + B\sin 0\big)+\frac{1}{5}e^{0}=A\cdot 1 + B\cdot 0 + \frac{1}{5}=A+\frac{1}{5}.
Como y(0)=0, segue
A+\frac{1}{5}=0\quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{5}.

Passo 6

Agora aplicamos y'(0)=0. Precisamos da derivada y'(t). Seja u(t)=A\cos t+B\sin t, então y_{h}=e^{-t}u(t). Usando a regra do produto:
y_{h}'=e^{-t}u'(t)-(e^{-t})u(t)=e^{-t}\big(u'(t)-u(t)\big).
Calcule u'(t):
u'(t)=-A\sin t + B\cos t.
Logo
u'(t)-u(t)=(-A\sin t + B\cos t)-(A\cos t + B\sin t)=(B-A)\cos t-(A+B)\sin t.
Portanto
y_{h}'(t)=e^{-t}\big((B-A)\cos t-(A+B)\sin t\big).
A derivada da parte particular é
y_{p}'(t)=\frac{1}{5}e^{t}.
Assim a derivada total é
y'(t)=e^{-t}\big((B-A)\cos t-(A+B)\sin t\big)+\frac{1}{5}e^{t}.
Avaliamo-la em t=0:
y'(0)=(B-A)\cdot 1 - (A+B)\cdot 0 + \frac{1}{5} = B-A+\frac{1}{5}.
Como y'(0)=0, obtemos
B-A+\frac{1}{5}=0.
Substituindo A=-\frac{1}{5} temos
B-(-\tfrac{1}{5})+\tfrac{1}{5}=B+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{5}=B+\tfrac{2}{5}=0,
portanto
B=-\frac{2}{5}.

Passo 7

Substituímos A e B na solução geral. Assim
y(t)=e^{-t}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos t - \tfrac{2}{5}\sin t\Big)+\tfrac{1}{5}e^{t}.
Podemos escrever de forma factorada:
y(t)=\frac{1}{5}\Big(e^{t}-e^{-t}\cos t - 2e^{-t}\sin t\Big).
Essa é a solução que satisfaz ambas as condições iniciais.

Resposta

y(t)=\frac{1}{5}\Big(e^{t}-e^{-t}\cos t - 2e^{-t}\sin t\Big).

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