Determine se a função dada é solução da equação sugerida.
e^x y+y=x-1 e d yd x=e^x y-ye^x y+x

Passo 1

Para começar, vamos recapitular o enunciado: temos uma função definida implicitamente por e^xy + y = x - 1 e queremos verificar se ela satisfaz a equação diferencial dydx = e^xy - ye^xy + x. O conteúdo envolvido é derivação implícita, então precisamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x.

Passo 2

Derivando implicitamente a expressão: a derivada de e^xy em relação a x é dada pela regra da cadeia e do produto, resultando em e^xyl(y + xdydxr), e a derivada de y é dydx, enquanto a do lado direito x - 1 é 1. Assim obtemos:
e^xyl(y + xdydxr) + dydx = 1

Passo 3

Agora agrupamos os termos que envolvem dydx de um lado e isolamos essa derivada. Fatorando dydx e passando o termo sem derivada para o outro lado, achamos:
dydx,(e^xyx + 1) = 1 - y,e^xy,
dydx = 1 - y,e^xye^xyx + 1

Passo 4

Comparando o resultado obtido, dydx = 1 - y,e^xye^xyx + 1, com a expressão proposta e^xy - ye^xy + x, percebemos que elas não coincidem (nem numerador, nem denominador são equivalentes). Portanto a função implícita não satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

Não. A derivada implícita obtida é 1 - y,e^xye^xyx + 1, que não coincide com e^xy - ye^xy + x, logo essa função não é solução da equação diferencial fornecida.

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