Use as fórmulas de soma para verificar as expressões abaixo.
senh(z)=senh x cos y+j cosh x sen y

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula da função hiperbólica senh aplicada a um número complexo z = x + j y, mostrando que senh(x + j y) = senh x cos y + j , cosh x sen y. Vamos usar a fórmula de soma de argumentos de senh e as definições de cosh e senh para argumentos puramente imaginários.

Passo 2

Recordando a fórmula de soma para senh, temos para quaisquer números (reais ou complexos) a e b:
senh(a + b) = senh a , cosh b + cosh a , senh b

Passo 3

Agora calculamos cosh(j y) usando a definição cosh w = e^w + e^-w2. Para w = j y:
cosh(j y) = e^j y + e^-j y2 = cos y

Passo 4

Em seguida, calculamos senh(j y) pela definição senh w = e^w - e^-w2. Para w = j y:
senh(j y) = e^j y - e^-j y2 = j,sin y = j,sen y

Passo 5

Aplicando a fórmula de soma com a = x e b = j y, obtemos:
senh(x + j y) = senh x , cosh(j y) + cosh x , senh(j y)
Substituindo os resultados anteriores:
senh(x + j y) = senh x cos y + cosh x l(jsen yr) = senh x cos y + j,cosh x sen y

Passo 6

Com isso, mostramos passo a passo que senh(z) = senh x cos y + j,cosh x sen y, conforme pedido.

Resposta

Está verificado que senh(x + j y) = senh x cos y + j,cosh x sen y.

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