Se s=(1+j raiz3) / 2, calcule 1+s+s^2+s^3+s^4+s^5+cdots+s^65.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
1 + s + s^2 + ⋯ + s^{65}, onde
s = (1 + j√3)/2. É um problema de números complexos envolvendo soma de progressão geométrica e propriedades de raízes da unidade.

Passo 2

Note que
s = 1 + jraiz32 = cosl(tfracpi3r) + jsinl(tfracpi3r) = e^jpi/3
Dessa forma, como e^j2pi = 1, temos
s^6 = l(e^jpi/3r)^6 = e^j2pi = 1

Passo 3

Agora, como é uma progressão geométrica de razão s e primeiro termo igual a 1, a soma S até s^65 é dada por
S = 1 + s + s^2 + cdots + s^65 = s^66 - 1s - 1,
desde que s neq 1, o que de fato ocorre aqui.

Passo 4

Finalmente, observe que
s^66 = l(s^6r)^11 = 1^11 = 1,
logo o numerador da fração fica 1 - 1 = 0. Portanto
S = 0

Resposta

0

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