Verifique que a função \mu(x, y) dada é um fator integrante da equação diferencial correspondente e encontre as soluções.
\left(6 y+x^{2} y^{2}\right) d x+\left(8 x+x^{3} y\right) d y=0, \mu=x^{2} y^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(6y + x^{2}y^{2})\,dx + (8x + x^{3}y)\,dy = 0
e informa o fator integrante \mu(x,y)=x^{2}y^{3}. O conteúdo aqui é verificar que, multiplicando por \mu, a equação torna-se exata, e então encontrar sua solução geral a partir de uma função potencial.

Passo 2

Multiplicamos cada termo por \mu. Definimos
\tilde M(x,y)=\mu\,M = x^{2}y^{3}(6y + x^{2}y^{2}) =6x^{2}y^{4}+x^{4}y^{5},
\tilde N(x,y)=\mu\,N = x^{2}y^{3}(8x + x^{3}y) =8x^{3}y^{3}+x^{5}y^{4}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} =24x^{2}y^{3}+5x^{4}y^{4}, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} =24x^{2}y^{3}+5x^{4}y^{4}.
Como \partial\tilde M/\partial y = \partial\tilde N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \Psi(x,y) tal que \Psi_x=\tilde M e \Psi_y=\tilde N. Integramos \tilde M em x:
\Psi(x,y)=\int(6x^{2}y^{4}+x^{4}y^{5})\,dx =2x^{3}y^{4}+\frac{1}{5}x^{5}y^{5}+h(y).
Derivando em y:
\Psi_y=8x^{3}y^{3}+x^{5}y^{4}+h'(y)
e igualamos a \tilde N=8x^{3}y^{3}+x^{5}y^{4}, obtendo h'(y)=0. Logo h é constante.

Resposta

A solução implícita é
2x^{3}y^{4}+\frac{1}{5}x^{5}y^{5}=C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados