Verifique que a função
dada é um fator integrante da equação diferencial correspondente e encontre as soluções.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa o fator integrante
. O conteúdo aqui é verificar que, multiplicando por
, a equação torna-se exata, e então encontrar sua solução geral a partir de uma função potencial.
Passo 2
Multiplicamos cada termo por
. Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
e
. Integramos
em
:
Derivando em
:
e igualamos a
, obtendo
. Logo
é constante.
Resposta
A solução implícita é
onde
é constante de integração.