Determine se a função é contínua em
. justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a função $ f(x) $ é contínua em $ c = 0 $. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como verificar isso usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x) $ é contínua em $ c $ se três condições forem satisfeitas:
- $ f© $ está definida.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual a $ f© $.
Passo 3
Vamos aplicar essas condições na nossa função:
Primeiro, verificamos $ f(0) $. Pelo enunciado, $ f(0) = 1 $. Então, a primeira condição está ok.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Precisamos considerar os limites laterais, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x \to 0^+
x \to 0^- $).
Passo 5
Para $ x \to 0^+ $ (direita):
Aqui usamos que $ |x| = x $ quando $ x > 0 $ e que $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $.
Passo 6
Para $ x \to 0^- $ (esquerda):
Aqui, $ |x| = -x $ quando $ x < 0 $, e novamente usamos que $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $, resultando em
.
Passo 7
Como os limites laterais são diferentes ($ 1 $ pela direita e $ -1 $ pela esquerda), o limite geral $ \lim_{x \to 0} f(x) $ não existe.
Passo 8
Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 não existe, a função $ f(x) $ não satisfaz a segunda condição para ser contínua em $ c = 0 $.
Resposta
Portanto, a função $ f(x) $ não é contínua em $ c = 0 $.