Determine se a função é contínua em c=0. justifique.
a) f(x)=rrrsin x|x|, & se & x neq 0, 1, & se & x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a função $ f(x) $ é contínua em $ c = 0 $. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como verificar isso usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x) $ é contínua em $ c $ se três condições forem satisfeitas:
  1. $ f© $ está definida.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ existe.
  3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual a $ f© $.

Passo 3

Vamos aplicar essas condições na nossa função:
f(x)= rrr sin x|x|, & se & x neq 0, 1, & se & x=0
Primeiro, verificamos $ f(0) $. Pelo enunciado, $ f(0) = 1 $. Então, a primeira condição está ok.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Precisamos considerar os limites laterais, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x \to 0^+ f(x) x \to 0^- $).

Passo 5

Para $ x \to 0^+ $ (direita):
x to 0^+
Aqui usamos que $ |x| = x $ quando $ x > 0 $ e que $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $.

Passo 6

Para $ x \to 0^- $ (esquerda):
x to 0^-
Aqui, $ |x| = -x $ quando $ x < 0 $, e novamente usamos que $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $, resultando em limx to 0^- sin x|x| = limx to 0^- sin x-x = -limx to 0^- sin xx = -1 .

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes ($ 1 $ pela direita e $ -1 $ pela esquerda), o limite geral $ \lim_{x \to 0} f(x) $ não existe.

Passo 8

Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 não existe, a função $ f(x) $ não satisfaz a segunda condição para ser contínua em $ c = 0 $.

Resposta

Portanto, a função $ f(x) $ não é contínua em $ c = 0 $.

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