Prove que s(x)=x^3+3 x^2-5 possui raiz no intervalo (1,2).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função $ s(x) = x^{3} + 3x^{2} - 5 $ tem uma raiz no intervalo s(x) = x^3 + 3x^2 - 5 . Esse tipo de problema está ligado ao estudo das funções contínuas e ao Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes dentro de certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função $ s(x) $ nos extremos do intervalo dado, ou seja, em $ x = 1 $ e $ x = 2 $.
Calculando $ s(1) $:
s(x)
Calculando $ s(2) $:
x = 1

Passo 3

Observamos que:
s(1) = -1 < 0 e s(2) = 15 > 0
Isso significa que a função mudou de sinal no intervalo (1, 2).

Passo 4

Agora, vamos lembrar do Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função $ f $ é contínua em um intervalo f e assume valores de sinais opostos em $ a $ e $ b $, então existe pelo menos um ponto $ c $ em [a, b] tal que $ f© = 0 $.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à nossa função $ s(x) $:
  • A função $ s(x) = x^{3} + 3x^{2} - 5 $ é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo o seu domínio.
  • Verificamos que $ s(1) = -1 $ e $ s(2) = 15 $, com sinais opostos.
Portanto, existe pelo menos um valor $ c $ no intervalo s(x) onde $ s© = 0 $.

Resposta

A função $ s(x) = x^{3} + 3x^{2} - 5 $ possui pelo menos uma raiz no intervalo s(x) = x^3 + 3x^2 - 5 .

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