Prove que
possui raiz no intervalo
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função $ s(x) = x^{3} + 3x^{2} - 5 $ tem uma raiz no intervalo
. Esse tipo de problema está ligado ao estudo das funções contínuas e ao Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes dentro de certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função $ s(x) $ nos extremos do intervalo dado, ou seja, em $ x = 1 $ e $ x = 2 $.
Calculando $ s(1) $:
Calculando $ s(2) $:
Passo 3
Observamos que:
Isso significa que a função mudou de sinal no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar do Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função $ f $ é contínua em um intervalo
e assume valores de sinais opostos em $ a $ e $ b $, então existe pelo menos um ponto $ c $ em
tal que $ f© = 0 $.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à nossa função $ s(x) $:
- A função $ s(x) = x^{3} + 3x^{2} - 5 $ é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo o seu domínio.
- Verificamos que $ s(1) = -1 $ e $ s(2) = 15 $, com sinais opostos.
Portanto, existe pelo menos um valor $ c $ no intervalo
onde $ s© = 0 $.
Resposta
A função $ s(x) = x^{3} + 3x^{2} - 5 $ possui pelo menos uma raiz no intervalo
.