- Determine uma função contínua
tal que para todo
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função contínua
tal que, para todo
,
Informações dadas:
- A função procurada deve ser contínua em
. - A igualdade vale para todo
no intervalo.
O que se pede exatamente: determinar explicitamente a funçãoque satisfaz essa identidade.
Passo 2
Primeira observação útil (avaliando o enunciado em
): substituir
na fórmula dá
logo
Isto nos dá a condição inicial que qualquer solução contínua deve satisfazer.
Passo 3
Estratégia para resolver: a equação é uma equação integral de Volterra do tipo "função igual a constante mais integral até
". Um procedimento padrão é diferenciar ambos os lados em relação a
. Para isso precisamos justificar que podemos diferenciar a integral. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se a função
for contínua em
, então a função
é diferenciável e
. Como o enunciado exige
contínua e
é produto de contínuas,
é contínua. Portanto podemos diferenciar a identidade do enunciado termo a termo.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se
então
. Mesma lógica aqui com
.
Passo 4
Agora diferenciamos a igualdade
. A derivada do lado esquerdo é
. A derivada de
é
. Pela observação anterior, a derivada da integral é
. Logo obtemos a equação diferencial
Além disso já sabemos a condição inicial
. Então temos um problema de valor inicial:
Passo 5
Resolver a equação diferencial. Esta é uma equação separável (ou uma equação linear simples). Façamos separação de variáveis:
Integrando em
,
No lado esquerdo a primitiva é
. No direito é
. Assim
Exponenciando,
Como
é contínua e
, temos
perto de
e podemos retirar o valor absoluto escolhendo a constante adequada. Determine
usando
:
Portanto
Passo 6
Verificação direta (sempre importante em prova): calcule a integral da definição usando a função encontrada. Temos
Observe que a derivada de
é
. Logo
Substituindo na identidade inicial:
ou seja, a função satisfeito a equação integral. Além disso
é contínua em
, como exigido.
Passo 7
Sobre unicidade: a equação diferencial de valor inicial
,
tem solução única por teoremas padrão (ou pode-se verificar que se
fosse outra solução contínua então a diferença satisfaz
com
, o que implica
). Portanto a solução encontrada é a única contínua que satisfaz a integral.