1. Determine uma função contínua \varphi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} tal que para todo x :
\varphi(x)=1+\int_{0}^{x} t \varphi(t) d t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função contínua \varphi:[0,1]\to\mathbb{R} tal que, para todo x\in[0,1],
\varphi(x)=1+\int_{0}^{x} t\,\varphi(t)\,dt.
Informações dadas:
  • A função procurada deve ser contínua em [0,1].
  • A igualdade vale para todo x no intervalo.
    O que se pede exatamente: determinar explicitamente a função \varphi(x) que satisfaz essa identidade.

Passo 2

Primeira observação útil (avaliando o enunciado em x=0): substituir x=0 na fórmula dá
\varphi(0)=1+\int_{0}^{0} t\,\varphi(t)\,dt = 1+0,
logo
\varphi(0)=1.
Isto nos dá a condição inicial que qualquer solução contínua deve satisfazer.

Passo 3

Estratégia para resolver: a equação é uma equação integral de Volterra do tipo "função igual a constante mais integral até x". Um procedimento padrão é diferenciar ambos os lados em relação a x. Para isso precisamos justificar que podemos diferenciar a integral. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se a função g(t)=t\varphi(t) for contínua em [0,1], então a função
F(x)=\int_{0}^{x} g(t)\,dt
é diferenciável e F'(x)=g(x). Como o enunciado exige \varphi contínua e t\mapsto t\varphi(t) é produto de contínuas, t\varphi(t) é contínua. Portanto podemos diferenciar a identidade do enunciado termo a termo.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se G(x)=\int_0^x \sin t\,dt então G'(x)=\sin x. Mesma lógica aqui com g(t)=t\varphi(t).

Passo 4

Agora diferenciamos a igualdade \varphi(x)=1+\int_{0}^{x} t\,\varphi(t)\,dt. A derivada do lado esquerdo é \varphi'(x). A derivada de 1 é 0. Pela observação anterior, a derivada da integral é x\varphi(x). Logo obtemos a equação diferencial
\varphi'(x)=x\,\varphi(x).
Além disso já sabemos a condição inicial \varphi(0)=1. Então temos um problema de valor inicial:
\begin{cases} \varphi'(x)=x\,\varphi(x),\\[4pt] \varphi(0)=1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver a equação diferencial. Esta é uma equação separável (ou uma equação linear simples). Façamos separação de variáveis:
\frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}=x.
Integrando em x,
\int \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\,dx=\int x\,dx.
No lado esquerdo a primitiva é \ln|\varphi(x)|. No direito é \dfrac{x^{2}}{2}+C. Assim
\ln|\varphi(x)|=\frac{x^{2}}{2}+C.
Exponenciando,
|\varphi(x)|=e^{C} e^{x^{2}/2}.
Como \varphi é contínua e \varphi(0)=1>0, temos \varphi(x)>0 perto de 0 e podemos retirar o valor absoluto escolhendo a constante adequada. Determine C usando \varphi(0)=1:
\varphi(0)=e^{C} e^{0}=e^{C}=1 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto
\varphi(x)=e^{x^{2}/2}.

Passo 6

Verificação direta (sempre importante em prova): calcule a integral da definição usando a função encontrada. Temos
\int_{0}^{x} t\,\varphi(t)\,dt=\int_{0}^{x} t\,e^{t^{2}/2}\,dt.
Observe que a derivada de e^{t^{2}/2} é t e^{t^{2}/2}. Logo
\int_{0}^{x} t\,e^{t^{2}/2}\,dt = e^{x^{2}/2}-e^{0}=e^{x^{2}/2}-1.
Substituindo na identidade inicial:
1+\int_{0}^{x} t\,\varphi(t)\,dt = 1 + (e^{x^{2}/2}-1)=e^{x^{2}/2}=\varphi(x),
ou seja, a função satisfeito a equação integral. Além disso e^{x^{2}/2} é contínua em [0,1], como exigido.

Passo 7

Sobre unicidade: a equação diferencial de valor inicial \varphi'(x)=x\varphi(x), \varphi(0)=1 tem solução única por teoremas padrão (ou pode-se verificar que se \psi fosse outra solução contínua então a diferença satisfaz \Delta' = x\Delta com \Delta(0)=0, o que implica \Delta\equiv0). Portanto a solução encontrada é a única contínua que satisfaz a integral.

Resposta

\varphi(x)=e^{x^{2}/2}

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