1. Seja r(t) a taxa do consumo mundial de petróleo, onde t é medido em anos começando em t=0 em 1^{\mathrm{o}} de janeiro de 2000 e r(t) é medida em barris por ano. O que representa \int_{15}^{20} r(t) d t ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • r(t) é a taxa de consumo mundial de petróleo, medida em barris por ano.
  • A variável t é medida em anos a partir de t=0 em 1^{\mathrm{o}} de janeiro de 2000.
  • Foi fornecida a integral \displaystyle \int_{15}^{20} r(t)\,dt e a pergunta é: o que essa integral representa?
Nota rápida de calendário: como t=0 é 1/1/2000, então t=15 corresponde a 1/1/2015 e t=20 corresponde a 1/1/2020.

Passo 2

Intuição física e unidades. Pense assim: em um instante t a taxa r(t) diz “quantos barris são consumidos por ano naquele instante”. Se olharmos um intervalo de tempo muito pequeno \Delta t (em anos), a quantidade aproximada de petróleo consumida nesse pedaço é
\text{quantidade aproximada}\approx r(t)\,\Delta t.
Aqui r(t) tem unidades de \text{barris/ano} e \Delta t tem unidades de \text{anos}, então o produto tem unidades de \text{barris} — ou seja, uma quantidade (não mais uma taxa). A integral é justamente a soma contínua (limitada) desses pedacinhos ao longo de um intervalo.

Passo 3

Interpretação matemática via função acumulada. Defina C(t) como o total acumulado de barris consumidos desde t=0 até o tempo t. Por construção, a derivada dessa função acumulada é a taxa:
C'(t)=r(t).
Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral da taxa entre dois instantes é a variação da função acumulada:
\int_{15}^{20} r(t)\,dt = C(20)-C(15).
Isto é, a integral dá a diferença entre o total consumido até t=20 e o total consumido até t=15.

Passo 4

Interpretação concreta e unidades. Juntando tudo:
  • A expressão \int_{15}^{20} r(t)\,dt é um número com unidades de barris.
  • Esse número representa a quantidade total de barris de petróleo consumidos no intervalo de tempo entre t=15 e t=20.
  • Em linguagem de datas: é o total de barris consumidos entre 1/1/2015 e 1/1/2020.
Exemplo ilustrativo: se a taxa fosse constante r(t)=1000 (barris/ano), então
\int_{15}^{20} 1000\,dt = 1000\cdot(20-15)=5000
barris, ou seja, 5000 barris consumidos nesses 5 anos — mostra como a integral soma a taxa ao longo do tempo.

Resposta

\displaystyle \int_{15}^{20} r(t)\,dt representa o total de barris de petróleo consumidos mundialmente entre t=15 (1 de janeiro de 2015) e t=20 (1 de janeiro de 2020).

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