6. (6 pontos)

Esboce a regiāo R delimitada por
y=x+1, \quad y=7 \quad \text { e } \quad x=0
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da regiäo R em torno da reta
y=-1,
utilizando o Método dos Discos e o Método das Cascas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A região R é delimitada por:
    • a reta \;y=x+1\;,
    • a reta horizontal \;y=7\;,
    • a reta vertical \;x=0\;.
  • O sólido é obtido girando R em torno da reta horizontal \;y=-1\;.
  • O enunciado pede apenas: determinar as integrais que representam o volume do sólido usando
    • o Método dos Discos (ou Anéis/“washers”) e
    • o Método das Cascas (shells).
  • Informações relevantes que vamos usar (obtidas das equações dadas):
    • A interseção entre \;y=x+1\; e \;y=7\; ocorre quando x+1=7, ou seja x=6.
    • A interseção entre \;x=0\; e \;y=x+1\; dá o ponto (0,1).
    • Logo a região R ocupa 0\le x\le6 e, para cada x nesse intervalo, x+1\le y\le7.

Passo 2

Método dos Discos / Anéis — ideia e fórmula geral.
  • Ideia: cortar o sólido por fatias planas perpendiculares ao eixo de rotação. Como o eixo é horizontal ( y=-1), as fatias perpendiculares a ele são fatias verticais (variando em x). Cada fatia gera um anel (washer) ao girar em torno de y=-1.
  • Fórmula geral para um anel com raio externo R(x) e raio interno r(x): V=\int_{a}^{b} \pi\bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr)\,dx,onde a e b são os limites em x.
Agora identificamos R(x), r(x) e os limites:
  • Distância vertical (raio) entre a reta de rotação \;y=-1\; e a fronteira superior \;y=7\; é constante: R(x)=\text{dist}(\,y=7,\;y=-1\,)=7-(-1)=8.
  • Distância entre \;y=-1\; e a curva inferior \;y=x+1\; é r(x)=\text{dist}(\,y=x+1,\;y=-1\,)=(x+1)-(-1)=x+2.
  • O intervalo em x é de x=0 até x=6 (ver Passo 1).
Portanto a integral pelo método dos discos é
V=\int_{0}^{6} \pi\Bigl(8^{2} - (x+2)^{2}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Explicação detalhada do porquê dos raios (didática rápida, para a prova).
  • Quando medir a distância vertical entre duas retas horizontais y=y_1 e y=y_2, a distância é |y_1-y_2|.
  • Aqui usamos essa ideia:
    • Para a fronteira superior: |7-(-1)|=8.
    • Para a fronteira inferior: |(x+1)-(-1)|=x+2 (aqui x+2\ge0 no intervalo considerado).
  • Cada fatia vertical de largura dx gera ao girar um anel de área \pi(R^2-r^2), e somando (integrando) obtemos o volume.

Passo 4

Método das Cascas (cylindrical shells) — ideia e fórmula geral.
  • Ideia: cortar o sólido por fatias paralelas ao eixo de rotação. Como o eixo é horizontal ( y=-1), as fatias paralelas ao eixo são fatias horizontais (variando em y). Cada fatia horizontal, ao girar, forma uma casca cilíndrica.
  • Fórmula geral para cascas (fatias horizontais, variável y): V=2\pi\int_{c}^{d} (\text{raio})(\text{altura})\,dy,onde:
    • \text{raio} é a distância vertical do elemento ao eixo de rotação,
    • \text{altura} é a extensão horizontal da região R naquele y,
    • c e d são os limites em y.

Passo 5

Identificação das peças para aplicar a fórmula das cascas.
  • Limites em y: a região vai de y=1 (na linha x=0 encontra y=x+1 em y=1) até y=7. Então c=1, d=7.
  • Raio da casca (distância do nível y ao eixo y=-1): \text{raio}=y-(-1)=y+1.
  • Altura da casca (extensão horizontal da região R em um dado y): a curva é x=y-1 (invertendo y=x+1), e o lado esquerdo é x=0. Logo a altura é \text{altura}=x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=(y-1)-0=y-1.
  • Então a integral das cascas fica V=2\pi\int_{1}^{7} (y+1)(y-1)\,dy.

Passo 6

Pequena checagem (didática): forma do integrando das cascas.
  • Note que (y+1)(y-1)=y^{2}-1. Se fosse necessário avaliar, poderíamos integrar facilmente. Mas como o enunciado pediu apenas as integrais, já temos a forma correta.

Resposta

Discos (washers):
V=\int_{0}^{6}\pi\Bigl(8^{2}-(x+2)^{2}\Bigr)\,dx
Cascas (shells):
V=2\pi\int_{1}^{7}(y+1)(y-1)\,dy

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