6. (6 pontos)
Esboce a regiāo
delimitada por
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da regiäo
em torno da reta
utilizando o Método dos Discos e o Método das Cascas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A região
é delimitada por: - a reta
, - a reta horizontal
, - a reta vertical
.
- a reta
- O sólido é obtido girando
em torno da reta horizontal . - O enunciado pede apenas: determinar as integrais que representam o volume do sólido usando
- o Método dos Discos (ou Anéis/“washers”) e
- o Método das Cascas (shells).
- Informações relevantes que vamos usar (obtidas das equações dadas):
- A interseção entre
e ocorre quando , ou seja . - A interseção entre
e dá o ponto . - Logo a região
ocupa e, para cada nesse intervalo, .
- A interseção entre
Passo 2
Método dos Discos / Anéis — ideia e fórmula geral.
- Ideia: cortar o sólido por fatias planas perpendiculares ao eixo de rotação. Como o eixo é horizontal (
), as fatias perpendiculares a ele são fatias verticais (variando em ). Cada fatia gera um anel (washer) ao girar em torno de . - Fórmula geral para um anel com raio externo
e raio interno : onde e são os limites em .
Agora identificamos
,
e os limites:
- Distância vertical (raio) entre a reta de rotação
e a fronteira superior é constante: - Distância entre
e a curva inferior é - O intervalo em
é de até (ver Passo 1).
Portanto a integral pelo método dos discos é
Passo 3
Explicação detalhada do porquê dos raios (didática rápida, para a prova).
- Quando medir a distância vertical entre duas retas horizontais
e , a distância é . - Aqui usamos essa ideia:
- Para a fronteira superior:
. - Para a fronteira inferior:
(aqui no intervalo considerado).
- Para a fronteira superior:
- Cada fatia vertical de largura
gera ao girar um anel de área , e somando (integrando) obtemos o volume.
Passo 4
Método das Cascas (cylindrical shells) — ideia e fórmula geral.
- Ideia: cortar o sólido por fatias paralelas ao eixo de rotação. Como o eixo é horizontal (
), as fatias paralelas ao eixo são fatias horizontais (variando em ). Cada fatia horizontal, ao girar, forma uma casca cilíndrica. - Fórmula geral para cascas (fatias horizontais, variável
): onde: -
é a distância vertical do elemento ao eixo de rotação, -
é a extensão horizontal da região naquele , -
e são os limites em .
-
Passo 5
Identificação das peças para aplicar a fórmula das cascas.
- Limites em
: a região vai de (na linha encontra em ) até . Então , . - Raio da casca (distância do nível
ao eixo ): - Altura da casca (extensão horizontal da região
em um dado ): a curva é (invertendo ), e o lado esquerdo é . Logo a altura é - Então a integral das cascas fica
Passo 6
Pequena checagem (didática): forma do integrando das cascas.
- Note que
. Se fosse necessário avaliar, poderíamos integrar facilmente. Mas como o enunciado pediu apenas as integrais, já temos a forma correta.
Resposta
Discos (washers):
Cascas (shells):