1. Suponha que f é uma função contínua que satisfaz para todo x :
\int_{1}^{x} f(t) d t=(x-1) e^{2 x}+\int_{1}^{x} \frac{1}{e} f(t) d t
encontre uma fórmula explícita para f(x).

Passo 1

O enunciado dá que f é contínua e, para todo x,
\int_{1}^{x} f(t)\,dt=(x-1)e^{2x}+\int_{1}^{x}\frac{1}{e}\,f(t)\,dt.
O que se pede: encontrar uma fórmula explícita para f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Há duas integrais definidas com limite variável x (ambas de 1 a x).
  • Há um termo explícito (x-1)e^{2x}.
  • A função f é contínua (isso permite aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais dependentes do limite superior).

Passo 2

Ideia do método (explicada passo a passo): Como a equação relaciona integrais até x e um termo explícito em x, uma forma natural de obter f(x) é derivar ambos os lados em relação a x. Vou justificar isso cuidadosamente.
Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada): Se f é contínua, então a função F(x)=\int_{1}^{x} f(t)\,dt é diferenciável e
F'(x)=f(x).
Aplicação direta: a derivada de \displaystyle \int_{1}^{x} f(t)\,dt é \displaystyle f(x). Análogo, a derivada de \displaystyle \int_{1}^{x}\frac{1}{e}\,f(t)\,dt é \displaystyle \frac{1}{e}f(x), pois \frac{1}{e} é constante e sai da derivação.
Portanto, ao derivar ambos os lados da igualdade dada obtemos uma equação envolvendo f(x) e a derivada do termo (x-1)e^{2x}.

Passo 3

Vou calcular a derivada do termo explícito (x-1)e^{2x}. Para isso uso a regra do produto:
Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u(x)=x-1 e v(x)=e^{2x}. Então
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2e^{2x}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big((x-1)e^{2x}\big)=1\cdot e^{2x}+(x-1)\cdot 2e^{2x}.
Fatorando e^{2x}:
\frac{d}{dx}\big((x-1)e^{2x}\big)=e^{2x}\big(1+2(x-1)\big)=e^{2x}(2x-1).

Passo 4

Agora derivo a equação original. Pelo Passo 2, a derivada do lado esquerdo é f(x). Pelo Passo 3, a derivada do primeiro termo do lado direito é e^{2x}(2x-1). E a derivada do segundo termo do lado direito é \dfrac{1}{e}f(x). Assim obtemos:
f(x)=e^{2x}(2x-1)+\frac{1}{e}f(x).
Reagrupando os termos com f(x) do mesmo lado:
f(x)\Big(1-\frac{1}{e}\Big)=e^{2x}(2x-1).

Passo 5

Para isolar f(x) basta dividir ambos os lados por \displaystyle 1-\frac{1}{e}. Observação algébrica útil: \displaystyle 1-\frac{1}{e}=\frac{e-1}{e}, então dividir por 1-\frac{1}{e} equivale a multiplicar por \dfrac{e}{e-1}.

Resposta

f(x)=\frac{(2x-1)e^{2x+1}}{e-1}

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