- Suponha que
é uma função contínua que satisfaz para todo
:
encontre uma fórmula explícita para
.
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua e, para todo
,
O que se pede: encontrar uma fórmula explícita para
.
Informações relevantes fornecidas:
- Há duas integrais definidas com limite variável
(ambas de a ). - Há um termo explícito
. - A função
é contínua (isso permite aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais dependentes do limite superior).
Passo 2
Ideia do método (explicada passo a passo): Como a equação relaciona integrais até
e um termo explícito em
, uma forma natural de obter
é derivar ambos os lados em relação a
. Vou justificar isso cuidadosamente.
Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada): Se
é contínua, então a função
é diferenciável e
Aplicação direta: a derivada de
é
. Análogo, a derivada de
é
, pois
é constante e sai da derivação.
Portanto, ao derivar ambos os lados da igualdade dada obtemos uma equação envolvendo
e a derivada do termo
.
Passo 3
Vou calcular a derivada do termo explícito
. Para isso uso a regra do produto:
Regra do produto: se
e
são diferenciáveis, então
Aqui
e
. Então
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 4
Agora derivo a equação original. Pelo Passo 2, a derivada do lado esquerdo é
. Pelo Passo 3, a derivada do primeiro termo do lado direito é
. E a derivada do segundo termo do lado direito é
. Assim obtemos:
Reagrupando os termos com
do mesmo lado:
Passo 5
Para isolar
basta dividir ambos os lados por
. Observação algébrica útil:
, então dividir por
equivale a multiplicar por
.