Resolva as equações diferenciais a seguir sujeitas às condições iniciais indicadas.
(a) x y^2 d yd x=y^3-x^3, y(1)=2;
(d) (x^2+2 y^2) d x=x y d y, y(-1)=1;
(b) (x^2+2 y^2) d x=x y d y, y(-1)=1;
(e) (x+raizx y) d yd x+x-y=x^-1 / 2 y^3 / 2, y(1)=1;
© 2 x^2 d yd x=3 x y+y^2, y(1)=-2;
(f) (raizx+raizy)^2 d x=x d y, y(1)=0.

Passo 1

Temos 6 equações diferenciais com condições iniciais, envolvendo casos separáveis, homogêneas e de Bernoulli. Vamos usar: substituição homogênea (
y=vx), Bernoulli, e substituições do tipo p=raizy/x ou u=raizy/x para reduzir a equação a variáveis separáveis e então aplicar integral,dx/x e integral,dv, integral,dp ou integral,du.

Passo 2

(a) É homogênea. Faço y=vx, logo dy/dx=v+x,dv/dx. A equação vira
v + xdvdx = (vx)^3 - x^3x,(vx)^2 = v - 1v^2
Isolando:
xdvdx = -1v^2,
separo:
v^2,dv = -dxx
Integro:
v^33 = -ln|x| + C
Volto a y: v=y/x e uso y(1)=2 para achar C.

Passo 3

(b) / (d) A equação se escreve
(x^2+2y^2),dx - x y,dy = 0
É homogênea de grau 2. Tomo y=vx, então dy= v,dx + x,dv. Substituo e reduzo a
dxx = v1+v^2,dv
separável. Integro, uso y(-1)=1 para determinar a constante.

Passo 4

© Reescrevo
2x^2dydx = 3x y + y^2 ,Longrightarrow, dydx = 3y2x + y^22x^2
É homogênea grau 1. Faço y=vx, dy/dx=v+x,dv/dx, obtenho separável
2integral dvv(1+v) = integral dxx,
e uso y(1)=-2 para achar a constante.

Passo 5

(e) Começo colocando p=raizy/x, logo y=p^2 x e dy/dx = p^2 + 2xp,dp/dx. Substituo na equação original e simplifico até chegar a uma equação separável em p e x
-2integralp1+p,dp = integraldxx
Integro e aplico y(1)=1 (isto é p(1)=1) para fixar a constante. Fica solução implícita.

Passo 6

(f) A equação
(raizx+raizy)^2,dx = x,dy
é também homogênea de grau 1 se escrevermos y=u^2 x (logo u=raizy/x). Substituo e reduzo a
integraldxx = integral 2u1+2u,du
Integro e uso y(1)=0 (ou u(1)=0) para achar a constante, obtendo solução implícita.

Resposta

(a) y^3 = x^3\bigl(8 -3\ln|x|\bigr), ou y = x\bigl(8 -3\ln|x|\bigr)^{1/3}.
(b)/(d) 1 + \frac{y2}{x2} =2x^2, ou x^2 + y^2 =2x^4.
© \displaystyle \Bigl(\frac{y}{y+x}\Bigr)^2 =4x, isto é y = \frac{2x\sqrt{x}}{1 -2\sqrt{x}}.
(e) solução implícita 2\ln|1+\sqrt{y/x}| -2\sqrt{y/x} -\ln|x| =2\ln2 -2.
(f) solução implícita \ln|x| = u -\tfrac12\ln|1+2u|, com u=\sqrt{y/x}.

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