Resolva as equações diferenciais a seguir sujeitas às condições iniciais indicadas.
(a)
;
(d)
;
(b)
;
(e)
;
©
;
(f)
.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Passo 1
Temos 6 equações diferenciais com condições iniciais, envolvendo casos separáveis, homogêneas e de Bernoulli. Vamos usar: substituição homogênea (
), Bernoulli, e substituições do tipo
ou
para reduzir a equação a variáveis separáveis e então aplicar
e
,
ou
.
Passo 2
(a) É homogênea. Faço
, logo
. A equação vira
Isolando:
separo:
Integro:
Volto a
:
e uso
para achar
.
Passo 3
(b) / (d) A equação se escreve
É homogênea de grau 2. Tomo
, então
. Substituo e reduzo a
separável. Integro, uso
para determinar a constante.
Passo 4
© Reescrevo
É homogênea grau 1. Faço
,
, obtenho separável
e uso
para achar a constante.
Passo 5
(e) Começo colocando
, logo
e
. Substituo na equação original e simplifico até chegar a uma equação separável em
e
Integro e aplico
(isto é
) para fixar a constante. Fica solução implícita.
Passo 6
(f) A equação
é também homogênea de grau 1 se escrevermos
(logo
). Substituo e reduzo a
Integro e uso
(ou
) para achar a constante, obtendo solução implícita.
Resposta
(a) y^3 = x^3\bigl(8 -3\ln|x|\bigr), ou y = x\bigl(8 -3\ln|x|\bigr)^{1/3}.
(b)/(d) 1 + \frac{y2}{x2} =2x^2, ou x^2 + y^2 =2x^4.
© \displaystyle \Bigl(\frac{y}{y+x}\Bigr)^2 =4x, isto é y = \frac{2x\sqrt{x}}{1 -2\sqrt{x}}.
(e) solução implícita 2\ln|1+\sqrt{y/x}| -2\sqrt{y/x} -\ln|x| =2\ln2 -2.
(f) solução implícita \ln|x| = u -\tfrac12\ln|1+2u|, com u=\sqrt{y/x}.
(b)/(d) 1 + \frac{y2}{x2} =2x^2, ou x^2 + y^2 =2x^4.
© \displaystyle \Bigl(\frac{y}{y+x}\Bigr)^2 =4x, isto é y = \frac{2x\sqrt{x}}{1 -2\sqrt{x}}.
(e) solução implícita 2\ln|1+\sqrt{y/x}| -2\sqrt{y/x} -\ln|x| =2\ln2 -2.
(f) solução implícita \ln|x| = u -\tfrac12\ln|1+2u|, com u=\sqrt{y/x}.