Considere a curva
interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
Diretamente.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha da forma
sobre a curva
que é a interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada anti-horário vista de cima. O conteúdo principal aqui é parametrizar
e aplicar diretamente a definição de integral de linha de um campo vetorial.
Passo 2
Para parametrizar
, usamos coordenadas cilíndricas no plano
:
Como
, substituindo no parabolóide obtemos
Logo a parametrização é
com
de
a
.
Passo 3
Calculamos as diferenciais:
Passo 4
O campo é
Substituindo na integral de linha:
Como
,
e
, isso vira
Passo 5
Simplificando o integrando:
Passo 6
Usamos que
Logo a integral vale
Passo 7
Realizando a soma: