Considere a curva C interseção do parabolóide z=10-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
ointC y e^z-3 d x+x z^2 d y+e^x y z d z:
Diretamente.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da forma ointC P,dx + Q,dy + R,dz sobre a curva C que é a interseção do parabolóide z = 10 - x^2 - y^2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1, orientada anti-horário vista de cima. O conteúdo principal aqui é parametrizar C e aplicar diretamente a definição de integral de linha de um campo vetorial.

Passo 2

Para parametrizar C, usamos coordenadas cilíndricas no plano x^2+y^2=1:
x(t) = cos t, y(t) = sin t
Como x^2+y^2=1, substituindo no parabolóide obtemos
z = 10 - 1 = 9
Logo a parametrização é r(t) = (cos t,,sin t,,9) com t de 0 a 2pi.

Passo 3

Calculamos as diferenciais:
dx = -sin t,dt, dy = cos t,dt, dz = 0

Passo 4

O campo é
P = y e^z-3, Q = x z^2, R = e^xyz
Substituindo na integral de linha:
ointC P,dx + Q,dy + R,dz = integral0^2pil(y e^z-3(-sin t) + x z^2(cos t) + e^xyzcdot0r)dt
Como y=sin t, x=cos t e z=9, isso vira

Passo 5

Simplificando o integrando:
integral0^2pil(-e^6sin^2 t + 81cos^2 tr)dt

Passo 6

Usamos que
integral0^2pisin^2 t,dt = integral0^2picos^2 t,dt = pi
Logo a integral vale

Passo 7

Realizando a soma:

Passo 8

integral0^2pi(-e^6sin^2 t + 81cos^2 t)dt = -e^6,pi + 81,pi = pi,(81 - e^6)

Resposta

pi(81 - e^6)

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