Determine se a função dada é homogênea e especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.
x^3+3 x^2 y.

Passo 1

O problema pede para verificar se a função f(x,y)=x^3+3x^2y é homogênea e, em caso afirmativo, determinar seu grau. O conteúdo envolvido é o de funções homogêneas, cuja definição exige testar a propriedade de escala f(tx,ty)=t^n f(x,y).

Passo 2

Para aplicar a definição, substituímos x por tx e y por ty na função original. Assim,
f(tx,ty)=(tx)^3+3 tx)^2,(ty)

Passo 3

Na simplificação usamos a propriedade de potências (tx)^k = t^k x^k. Então temos:
f(tx,ty)=t^3x^3+3t^3x^2y=t^3l(x^3+3x^2yr)=t^3f(x,y)

Passo 4

Como conseguimos escrever f(tx,ty)=t^3f(x,y), concluímos que f é homogênea de grau 3.

Resposta

A função é homogênea de grau 3.

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