Utilize o estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^2+x-6|+|x-1|

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a expressão |x^2+x-6| + |x-1| usando o estudo de sinais. Basicamente, vamos eliminar os módulos (valores absolutos) determinando onde as expressões dentro deles são positivas ou negativas. Para isso, precisamos encontrar os pontos críticos onde as expressões mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão x^2 + x - 6. Para encontrar onde ela muda de sinal, resolvemos a equação x^2 + x - 6 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 1, c = -6.
De
Então,
x = -1 pm raiz252 = -1 pm 52
Isso nos dá duas raízes:
x = -1 + 52 = 2 e x = -1 - 52 = -3

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão x - 1. Ela muda de sinal quando x - 1 = 0, ou seja, quando x = 1.
Então, nossos pontos críticos são x = -3, x = 1 e x = 2. Vamos dividir a linha dos números em intervalos com base nesses pontos:
  1. x < -3
  2. -3 < x < 1
  3. 1 < x < 2
  4. x > 2

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo para determinar o sinal de cada expressão dentro dos módulos.
Intervalo 1: x < -3
  • x^2 + x - 6: Para x < -3, substituindo, por exemplo, x = -4:
    (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0
  • x - 1: Para x < -3, -4 - 1 = -5 < 0
Então, a expressão se torna:
|x^2+x-6| + |x-1| = (x^2+x-6) + (-(x-1)) = x^2 + x - 6 - x + 1 = x^2 -5

Passo 5

Intervalo 2: -3 < x < 1
  • x^2 + x - 6: Para x nesse intervalo, por exemplo, x = 0:
    0 + 0 - 6 = -6 < 0
  • x - 1: Para x < 1, x - 1 < 0
Então, a expressão se torna:
|x^2+x-6| + |x-1| = (-(x^2+x-6)) + (-(x-1)) = -x^2 - x + 6 - x + 1 = -x^2 -2x +7

Passo 6

Intervalo 3: 1 < x < 2
  • x^2 + x - 6: Para x nesse intervalo, por exemplo, x = 1.5:
    (1.5)^2 + 1.5 - 6 = 2.25 + 1.5 - 6 = -2.25 < 0
  • x - 1: Para x > 1, x - 1 > 0
Então, a expressão se torna:
|x^2+x-6| + |x-1| = (-(x^2+x-6)) + (x-1) = -x^2 -x +6 +x -1 = -x^2 +5

Passo 7

Intervalo 4: x > 2
  • x^2 + x - 6: Para x > 2, por exemplo, x = 3:
    9 + 3 - 6 = 6 > 0
  • x - 1: Para x > 1, x - 1 > 0
Então, a expressão se torna:
|x^2+x-6| + |x-1| = (x^2+x-6) + (x-1) = x^2 +x -6 +x -1 = x^2 +2x -7

Resposta

Dependendo do intervalo em que x está, a expressão |x^2+x-6| + |x-1| pode ser simplificada da seguinte forma:
  • Para x < -3: x^2 - 5
  • Para -3 < x < 1: -x^2 - 2x + 7
  • Para 1 < x < 2: -x^2 + 5
  • Para x > 2: x^2 + 2x - 7

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