Determine se a função dada é homogênea e especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.
cos (3 x y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=cos(3xy) é homogênea e, em caso afirmativo, achar o grau de homogeneidade. Vamos usar a definição de função homogênea de duas variáveis.

Passo 2

Pela definição, testamos f(tx,ty):
f(tx,ty)=cosl(3,(tx)(ty)r)=cosl(3t^2xyr)

Passo 3

Para ser homogênea de grau k, precisaríamos ter f(tx,ty)=t^k f(x,y), ou seja:
$$
\cos(3t2xy)=tk\cos(3xy)$$
para todo cos(3t^2xy)=t^kcos(3xy).

Passo 4

Como a função cosseno não satisfaz cos(3t^2xy)=t^kcos(3xy) para nenhum k e todos os valores de t,x,y, concluímos que não existe grau k que torne a igualdade válida.
Portanto, f(x,y)=cos(3xy) não é homogênea de nenhuma ordem.

Resposta

A função não é homogênea de nenhum grau.

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