Verifique se a série converge.
sumn=1^infty ln (n+1)n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^inftyln(n+1)n^2+n. O conteúdo principal é séries numéricas e vamos usar o teste de condensação de Cauchy para séries de termos positivos e monótonos decrescentes.

Passo 2

Primeiro precisamos checar que an=ln(n+1)n^2+n>0 e é decrescente para n grande. De fato, an tende a zero e sua derivada (ou o comportamento assintótico) mostra decaimento. Assim podemos aplicar o teste de condensação.

Passo 3

O teste de condensação diz que a série sum an converge se, e somente se, sumk=1^infty2^k a2^k converge. Vamos calcular
2^k a2^k=2^kcdotln(2^k+1)(2^k)^2+2^k,

Passo 4

Para k grande, ln(2^k+1)=lnl(2^k(1+2^-k)r)=kln2+ln(1+2^-k)approx kln2, e (2^k)^2+2^k=2^2k(1+2^-k)approx2^2k. Então
2^k a2^kapprox2^k,(kln2)2^2k=kln2,2^-k,

Passo 5

Sabemos que sumk=1^inftyk,2^-k converge (é uma série de soma finita, pois lembra uma série geométrica com fator adicional k). Logo sum2^k a2^k converge, e pelo teste de condensação a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyln(n+1)n^2+n é convergente.

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