Verifique se a série converge.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
. O conteúdo principal é séries numéricas e vamos usar o teste de condensação de Cauchy para séries de termos positivos e monótonos decrescentes.
Passo 2
Primeiro precisamos checar que
e é decrescente para
grande. De fato,
tende a zero e sua derivada (ou o comportamento assintótico) mostra decaimento. Assim podemos aplicar o teste de condensação.
Passo 3
O teste de condensação diz que a série
converge se, e somente se,
converge. Vamos calcular
Passo 4
Para
grande,
, e
. Então
Passo 5
Sabemos que
converge (é uma série de soma finita, pois lembra uma série geométrica com fator adicional
). Logo
converge, e pelo teste de condensação a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.