Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & 2 n-1 \leq x<2 n, \\\\ 1, & 2 n \leq x<2 n+1 ;\end{array} \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 0, & 2n-1 \le x < 2n,\\[4pt] 1, & 2n \le x < 2n+1, \end{cases}\qquad n=0,\pm1,\pm2,\ldots
As perguntas que o enunciado faz são:
  • A função é periódica?
  • Se for periódica, qual é o período fundamental?
Informações relevantes fornecidas:
  • A linha real está particionada em intervalos de comprimento 1 indexados por n.
  • Em cada intervalo de comprimento 1 a função vale constantemente 0 ou 1, alternando: em [2n-1,2n) vale 0 e em [2n,2n+1) vale 1.]

Passo 2

Vamos entender concretamente o padrão da função listando alguns intervalos e valores (pegando os n do enunciado):
  • Para n=-1: [2(-1)-1,2(-1)) = [-3,-2) com f=0; [2(-1),2(-1)+1)=[-2,-1) com f=1.
  • Para n=0: [ -1,0) com f=0; [0,1) com f=1.
  • Para n=1: [1,2) com f=0; [2,3) com f=1.
    Logo, movendo para a direita temos a sequência de blocos
\ldots,\;0\\ \text{em }[-3,-2),\;1\\ \text{em }[-2,-1),\;0\\ \text{em }[-1,0),\;1\\ \text{em }[0,1),\;0\\ \text{em }[1,2),\;1\\ \text{em }[2,3),\ldots
Isto mostra claramente um padrão alternado com blocos de comprimento 1.

Passo 3

Mostrar que a função repete ao deslocar x por 2. Tome um x arbitrário e considere os dois casos da definição.
Caso A: suponha 2n-1 \le x < 2n. Somando 2 em todas as desigualdades obtém-se
2(n+1)-1 \le x+2 < 2(n+1).
Pela definição, isso implica f(x+2)=0. Mas por hipótese f(x)=0. Logo f(x+2)=f(x) neste caso.
Caso B: suponha 2n \le x < 2n+1. Somando 2 obtemos
2(n+1) \le x+2 < 2(n+1)+1.
Pela definição, isso implica f(x+2)=1. Mas por hipótese f(x)=1. Logo f(x+2)=f(x) neste caso.
Como x foi arbitrário, concluímos que
f(x+2)=f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto 2 é um período da função.

Passo 4

Definição usada (explicada): uma função g é periódica se existe um número T>0 tal que g(x+T)=g(x) para todo x. Um período fundamental (ou primitivo) é o menor T>0 que satisfaz isso. Exemplos intuitivos: a função \sin(x) tem período fundamental 2\pi; uma função constante tem qualquer T>0 como período, e o menor período não existe nesse caso (ou se diz que não tem período fundamental positivo bem definido).

Passo 5

Agora precisamos mostrar que não existe período positivo menor que \,2. Suponha, por contradição, que exista T com 0<T<2 tal que f(x+T)=f(x) para todo x. Vamos separar em dois subcasos.
Subcaso 1: 0<T<1.
Considere x=1. Temos 1\in[1,2), então f(1)=0. Pela periodicidade f(1)=f(1-T). Mas 1-T\in(0,1), e em (0,1) (parte do intervalo [0,1)) vale f=1. Assim f(1-T)=1, o que contradiz f(1)=0. Logo não pode haver T com 0<T<1.
Subcaso 2: 1\le T<2.
Considere x=0. Temos 0\in[0,1), então f(0)=1. Pela periodicidade f(0)=f(T). Mas T\in[1,2), e em [1,2) vale f=0. Logo f(T)=0, contradizendo f(0)=1. Assim não pode haver T com 1\le T<2.
Como ambos os subcasos dão contradição, não existe período T com 0<T<2. Portanto o menor período positivo é 2.

Passo 6

Conclusão final: a função é periódica (porque f(x+2)=f(x) para todo x) e não admite período positivo menor que 2, logo o período fundamental é \,2. Força aí — agora que viu o padrão, essa família de funções degrau alternante é sempre periódica com período igual ao comprimento do par de blocos repetidos (aqui dois blocos de comprimento 1 cada, total 2).

Resposta

A função é periódica com período fundamental 2.

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