Em cada um dos problemas de 15 a 22:
(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.
f(x)=x, \quad 0 \leq x<1; série com período 1

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 1 definida por
f(x)=x,\qquad 0\le x<1,
e pede duas coisas:
(a) encontrar a série de Fourier (com período 1) dessa função;
(b) esboçar o gráfico da função à qual a série converge em um intervalo de três períodos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida em um período como f(x)=x em [0,1).
  • A extensão periódica tem período T=1, ou seja f(x+1)=f(x) para todo x.
  • Não há outras condições dadas; portanto a série pedida é a série de Fourier real (coeficientes a_0,a_n,b_n) com frequência fundamental 2\pi/T=2\pi.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula geral de uma série de Fourier para uma função periódica de período T. Uma representação conveniente é
f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(2\pi n x)+b_n\sin(2\pi n x)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\!\bigl(2\pi n x/T\bigr)\,dx,
b_n=\frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\!\bigl(2\pi n x/T\bigr)\,dx.
Aqui T=1, então as fórmulas simplificam para
a_0=\int_{0}^{1} f(x)\,dx,\qquad a_n=2\int_{0}^{1} f(x)\cos(2\pi n x)\,dx,\qquad b_n=2\int_{0}^{1} f(x)\sin(2\pi n x)\,dx.
Explicando pedagogicamente:
  • a_0 é o valor médio da função em um período.
  • a_n mede quanto há de modo cosseno de frequência n na função.
  • b_n mede quanto há de modo seno de frequência n.
    Vou aplicar essas fórmulas com f(x)=x em [0,1].

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\int_{0}^{1} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Interpretação: o valor médio do “ramp” x em [0,1] é \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n=2\int_{0}^{1} x\cos(2\pi n x)\,dx.
Vamos calcular a integral
I=\int_{0}^{1} x\cos(2\pi n x)\,dx
por partes. Tome u=x (logo du=dx) e dv=\cos(2\pi n x)\,dx (logo v=\dfrac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}). Assim
I=\left. x\cdot\frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}\,dx.
O termo na borda é 1\cdot\dfrac{\sin(2\pi n)}{2\pi n}-0\cdot\dots=0 porque \sin(2\pi n)=0. A integral restante é
-\frac{1}{2\pi n}\int_{0}^{1}\sin(2\pi n x)\,dx =-\frac{1}{2\pi n}\left[-\frac{\cos(2\pi n x)}{2\pi n}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{(2\pi n)^2}\bigl(\cos(2\pi n)-\cos 0\bigr).
Como \cos(2\pi n)=1 e \cos 0=1, obtemos I=0. Portanto
a_n=2I=0\qquad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge1:
b_n=2\int_{0}^{1} x\sin(2\pi n x)\,dx.
Calcule a integral
J=\int_{0}^{1} x\sin(2\pi n x)\,dx
por partes: tome u=x ( du=dx) e dv=\sin(2\pi n x)\,dx ( v=-\dfrac{\cos(2\pi n x)}{2\pi n}). Então
J=\left. -x\frac{\cos(2\pi n x)}{2\pi n}\right|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{\cos(2\pi n x)}{2\pi n}\,dx.
O primeiro termo é -\dfrac{1\cdot\cos(2\pi n)}{2\pi n}+0=-\dfrac{1}{2\pi n} porque \cos(2\pi n)=1. O segundo termo é
\frac{1}{2\pi n}\int_{0}^{1}\cos(2\pi n x)\,dx =\frac{1}{2\pi n}\left.\frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}\right|_{0}^{1}=0.
Logo J=-\dfrac{1}{2\pi n}. Assim
b_n=2J=2\cdot\left(-\frac{1}{2\pi n}\right)=-\frac{1}{\pi n}.

Passo 6

Reunindo os coeficientes: a_0=\tfrac{1}{2}, a_n=0 e b_n=-\dfrac{1}{\pi n}. Portanto a série de Fourier (com período 1) é
\boxed{\displaystyle f(x)\sim \frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n}.}
Explicação prática: não há termos cosseno, há apenas senos com coeficiente -1/(\pi n). Esta é a série clássica do “sawtooth” (rampa).

Passo 7

Sobre convergência pontual e comportamento no contorno:
  • Para x que não é inteiro, a série converge para o valor da função periódica contínua naquele ponto, ou seja para f(x)=x-\lfloor x\rfloor (o “resto” de x em relação a 1).
  • Nos pontos de descontinuidade (os inteiros), a série converge para a média dos limites laterais. Aqui nos inteiros a função tem salto de 1 (limite à esquerda =1, limite à direita =0), então a série converge para \tfrac{1}{2} nesses pontos. Observação útil para a prova: isso ocorre pelo teorema de Dirichlet para séries de Fourier.

Passo 8

Esboço do gráfico em três períodos (descrição para desenhar):
  • Escolha um intervalo de três períodos, por exemplo [-1,2] (isso cobre os períodos [-1,0), [0,1), [1,2)).
  • Em cada intervalo [k,k+1) com k\in\mathbb{Z} a função vale
f(x)=x-k \quad\text{para }k\le x<k+1,
ou seja uma reta de inclinação 1 saindo do valor 0 em x=k e subindo até 1 quando x\to k+1^{-}.
  • Em x=k (enteros) a série converge para \tfrac{1}{2}, então ao desenhar o gráfico da série coloque um ponto preenchido em (k,\tfrac{1}{2}) se quiser indicar o valor para a soma da série; geometricamente a função periódica original costuma ser desenhada com salto (ponto à direita =0, à esquerda =1), e anotar que a soma da série dá o valor médio \tfrac{1}{2} nos inteiros.
  • Visualmente: é o clássico dente de serra (sawtooth) — rampas inclinadas unidas por saltos para baixo nos pontos inteiros.

Resposta

\displaystyle f(x)\sim \frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n}.
A série converge para a função periódica do tipo “sawtooth” dada por \;f(x)=x-\lfloor x\rfloor para x\notin\mathbb{Z} (em cada intervalo [k,k+1) vale f(x)=x-k), e nos pontos inteiros x=k a soma da série é \tfrac{1}{2}.

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