Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre o período fundamental:
y=(\operatorname{cotg} \sqrt{2} \pi \cos \sqrt{2} x+\operatorname{sen} \sqrt{2} x) / \sqrt{2}
y=(\operatorname{cotg} \sqrt{2} \pi \cos \sqrt{2} x+\operatorname{sen} \sqrt{2} x) / \sqrt{2}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função é periódica e, se for, encontrar o período fundamental. A função dada é
Informações relevantes que temos:
- A constante
depende apenas de (é um número real fixo). - As partes que dependem de
são e . - A pergunta é: a função é periódica? Se sim, qual é o menor período positivo (período fundamental)?
Passo 2
Vamos achar o período de
e de
. Uma função
tem período básico
tal que
Tomando
para obter o menor período positivo, obtemos
Aqui
. Logo o menor período positivo de
e de
é
Passo 3
Agora uso o fato simples: se
e
são funções periódicas com o mesmo período
, então qualquer combinação linear
(com
constantes) também é periódica com período
. No nosso caso as duas funções
e
têm período
, e são combinadas com constantes (incluindo a divisão por
); portanto a função
é periódica com período
(pelo menos).
Passo 4
Precisamos garantir que a combinação não cancele identicamente (o que poderia levar a um período diferente, por exemplo período qualquer se fosse a função zero). Reescrevendo os coeficientes:
Definimos
A amplitude da combinação é
Usando a identidade trigonométrica
temos
Como
(pois
ocorreria só se
fosse inteiro, o que não é), segue que
. Portanto a combinação não é a função nula.
Passo 5
Quando
, existe um
tal que
A função do lado direito tem período
. Além disso, qualquer período
da função deve satisfazer
para algum
, ou seja
. O menor
é obtido com
, portanto o período fundamental (menor período positivo) é