Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre o período fundamental:
y=(\operatorname{cotg} \sqrt{2} \pi \cos \sqrt{2} x+\operatorname{sen} \sqrt{2} x) / \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função é periódica e, se for, encontrar o período fundamental. A função dada é
y=\frac{\operatorname{cotg}(\sqrt{2}\pi)\cos(\sqrt{2}x)+\operatorname{sen}(\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A constante \operatorname{cotg}(\sqrt{2}\pi) depende apenas de \sqrt{2}\pi (é um número real fixo).
  • As partes que dependem de x são \cos(\sqrt{2}x) e \sin(\sqrt{2}x).
  • A pergunta é: a função é periódica? Se sim, qual é o menor período positivo (período fundamental)?

Passo 2

Vamos achar o período de \sin(\sqrt{2}x) e de \cos(\sqrt{2}x). Uma função \sin(\alpha x) tem período básico T tal que
\alpha (x+T)=\alpha x+2\pi k\quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z}.
Tomando k=1 para obter o menor período positivo, obtemos
\alpha T = 2\pi \quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{\alpha}.
Aqui \alpha=\sqrt{2}. Logo o menor período positivo de \sin(\sqrt{2}x) e de \cos(\sqrt{2}x) é
T=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\pi.

Passo 3

Agora uso o fato simples: se f e g são funções periódicas com o mesmo período T, então qualquer combinação linear Af+Bg (com A,B constantes) também é periódica com período T. No nosso caso as duas funções \cos(\sqrt{2}x) e \sin(\sqrt{2}x) têm período \sqrt{2}\pi, e são combinadas com constantes (incluindo a divisão por \sqrt{2}); portanto a função y é periódica com período \sqrt{2}\pi (pelo menos).

Passo 4

Precisamos garantir que a combinação não cancele identicamente (o que poderia levar a um período diferente, por exemplo período qualquer se fosse a função zero). Reescrevendo os coeficientes:
y=\frac{\cot(\sqrt{2}\pi)}{\sqrt{2}}\cos(\sqrt{2}x)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}x).
Definimos
A=\frac{\cot(\sqrt{2}\pi)}{\sqrt{2}},\qquad B=\frac{1}{\sqrt{2}}.
A amplitude da combinação é
R=\sqrt{A^2+B^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\cot^2(\sqrt{2}\pi)+1}.
Usando a identidade trigonométrica 1+\cot^2 t=\csc^2 t temos
R=\frac{1}{\sqrt{2}}\,|\csc(\sqrt{2}\pi)|.
Como \sin(\sqrt{2}\pi)\neq 0 (pois \sin(\pi\sqrt{2})=0 ocorreria só se \sqrt{2} fosse inteiro, o que não é), segue que R>0. Portanto a combinação não é a função nula.

Passo 5

Quando R>0, existe um \varphi tal que
A\cos(\sqrt{2}x)+B\sin(\sqrt{2}x)=R\sin(\sqrt{2}x+\varphi).
A função do lado direito tem período 2\pi/\sqrt{2}=\sqrt{2}\pi. Além disso, qualquer período T' da função deve satisfazer \sqrt{2}T'=2\pi k para algum k\in\mathbb{Z}, ou seja T'=k\sqrt{2}\pi. O menor T'>0 é obtido com k=1, portanto o período fundamental (menor período positivo) é
T_0=\sqrt{2}\pi.

Resposta

\sqrt{2}\pi

Exercícios relacionados