Determine L para que a função dada seja contínua em R.
(a) f(x)=clsen(x^2+2)-sen(x+2)x & , se x neq 0 L & , se x=0
(b) f(x)=clraizx^8+x^4x^2 & , se x neq 0 L & , se x=0

Passo 1

O enunciado pede para escolher L de modo que cada função seja contínua em R. Como o único ponto crítico é x=0, basta garantir
L = limxto0 f(x)
Vamos, pois, calcular esses limites para os itens (a) e (b).

Passo 2

Para (a) temos
Note que e coincidem em , então o numerador é pequena diferença. Podemos usar a expansão em série ou derivadas: defina
Então
Logo, para
e daí

Passo 3

Para (b) temos
f(x)=raizx^8+x^4x^2 =raizx^4(x^4+1)x^2 =|x^2|raizx^4+1x^2
Como x^2>=0 tem |x^2|=x^2, logo para xneq0
f(x)=raizx^4+1
Portanto
limxto0f(x) =limxto0raizx^4+1 =raiz0+1 =1

Resposta

(a) L=-cos2.
(b) L=1.

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