Seja f: R+ (-infty, 1] dada por f(x)=-x^2+1 Considere as äfirmaçōes:
  1. D(f)=R+
    II) f é estritamente decrescente.
    III) Im(f)=[1,+infty)
    M) O conjunto Im(f) é igual ao contradomínio
É correto afirmar que
Escolha uma opção
a Todas as afirmações são falsas
b. Exatamente três afirmações sảo verdadeiras
c. Exatamente uma afirmaçấo é verdadeira.
d. Exatamente duas afirmaçōes são verdadeiras.
e. Todas as afirmaçōes são verdadeiras.
anterior

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon R+to(-infty,1], f(x)=-x^2+1
e pede para verificar quatro afirmações:
I) D(f)=R+
II) f é estritamente decrescente
III) Im(f)=[1,+infty)
IV) Im(f) é igual ao contradomínio
Depois contamos quantas são verdadeiras.

Passo 2

Verificamos I: por definição o domínio D(f) é o conjunto de partida, que foi dado como R+. Logo
D(f)=R+,
portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Verificamos II: calculamos a derivada
f'(x)=ddx(-x^2+1)=-2x
Como em R+ temos x>0 implica f'(x)<0, a função é estritamente decrescente no domínio. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Verificamos III: o valor máximo de f ocorre em x=0 com f(0)=1, e à medida que xto+infty, f(x)=-x^2+1to-infty. Portanto
Im(f)=(-infty,1],
e não [1,+infty). A afirmação III é falsa.

Passo 5

Verificamos IV: o contradomínio dado é (-infty,1] e acabamos de ver que
Im(f)=(-infty,1],
ou seja, imagem e contradomínio coincidem. Logo IV é verdadeira.

Passo 6

Contando as afirmações verdadeiras temos I, II e IV, ou seja, três afirmações verdadeiras.

Resposta

b. Exatamente três afirmações são verdadeiras.

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