Verifique se as séries são convergentes através do Teste da Série Alternada. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
Passo 1
O enunciado apresenta a série alternada
e pede para verificar sua convergência usando o Teste da Série Alternada (Leibniz). Para isso, vamos reescrever a série em forma padrão
e checar que
é positivo, decrescente e tende a zero.
Passo 2
Reescrevendo em termos de
, note que para
temos o termo
Logo podemos identificar
de modo que a série é
.
Passo 3
Verificamos agora que
é positiva e decrescente para
. De fato,
e a função
tem derivada
ou seja,
.
Passo 4
Precisamos também checar o limite de
. Como
todas as condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas. Portanto, pela convergência de Leibniz, a série converge.
Resposta
A série converge pelo Teste da Série Alternada de Leibniz (convergência condicional).