Verifique se as séries são convergentes através do Teste da Série Alternada. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
1raiz2-1raiz3+1raiz4-1raiz5+1raiz6-cdots

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternada
1raiz2 - 1raiz3 + 1raiz4 - 1raiz5 + cdots
e pede para verificar sua convergência usando o Teste da Série Alternada (Leibniz). Para isso, vamos reescrever a série em forma padrão sum(-1)^n bn e checar que bn é positivo, decrescente e tende a zero.

Passo 2

Reescrevendo em termos de n, note que para n>=2 temos o termo
an = (-1)^nraizn
Logo podemos identificar
bn = 1raizn,
de modo que a série é sumn=2^infty (-1)^n bn.

Passo 3

Verificamos agora que bn é positiva e decrescente para n>=2. De fato,
bn = n^-tfrac12 > 0
e a função f(x)=x^-1/2 tem derivada
f'(x) = -tfrac12,x^-3/2 < 0para x>0,
ou seja, bn+1<bn.

Passo 4

Precisamos também checar o limite de bn. Como
limntoinftybn = limntoinfty1raizn = 0,
todas as condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas. Portanto, pela convergência de Leibniz, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Série Alternada de Leibniz (convergência condicional).

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