Verifique se as séries são convergentes através do Teste da Série Alternada. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
47-48+49-410+411-cdots

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternada
47-48+49-410+cdots
e pede para verificar, usando o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), se ela converge. Para isso precisamos identificar a sequência de termos em valor absoluto e checar duas condições: (i) monotonicidade decrescente e (ii) limite nulo.

Passo 2

Definimos
un = 4n+6
de modo que a série pode ser escrita como
sumn=1^infty (-1)^,n-1un
Para ver que (un) é decrescente, note que para todo n>=1
un+1 = 4n+7 < 4n+6 = un,
pois o denominador cresce quando n aumenta.

Passo 3

Calculamos o limite de un quando ntoinfty. Como
limntoinfty 4n+6 = 0,
a segunda condição do Teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 4

Como (un) é decrescente e tende a zero, todas as hipóteses do Teste da Série Alternada de Leibniz se cumprem, garantindo que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Série Alternada de Leibniz.

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