Verifique se as séries são convergentes através do Teste da Série Alternada. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
Passo 1
O enunciado apresenta a série alternada
e pede para verificar, usando o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), se ela converge. Para isso precisamos identificar a sequência de termos em valor absoluto e checar duas condições: (i) monotonicidade decrescente e (ii) limite nulo.
Passo 2
Definimos
de modo que a série pode ser escrita como
Para ver que
é decrescente, note que para todo
pois o denominador cresce quando
aumenta.
Passo 3
Calculamos o limite de
quando
. Como
a segunda condição do Teste de Leibniz está satisfeita.
Passo 4
Como
é decrescente e tende a zero, todas as hipóteses do Teste da Série Alternada de Leibniz se cumprem, garantindo que a série converge.
Resposta
A série converge pelo Teste da Série Alternada de Leibniz.