Vou determinar as seguintes coisas (tudo que vou responder está listado aqui):
O domínio de f.
Os limites laterais \lim_{x\to3^-}f(x) e \lim_{x\to3^+}f(x).
O valor f(3).
Se f é contínua em x=3 e, se não, que tipo de descontinuidade há.
A derivada f'(x) para x\neq3 e se f é diferenciável em x=3.]
Passo 2
Domínio. Cada ramo da função é um polinômio (x^{2}-1 e 2x), e polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio de f é
\mathbb{R}.
Breve lembrete: domínio é o conjunto de todos os x onde a função está definida; como ambas as expressões valem para todo real e a regra dá qual usar em cada intervalo, não há restrição.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda em x=3. Para x<3 vale f(x)=x^{2}-1. Como polinômios são funções contínuas, o limite pela esquerda é o valor do polinômio em x=3. Logo
Explicação rápida: quando a função é dada por uma expressão contínua num intervalo que contém 3 à esquerda, basta substituir x=3 nessa expressão para obter o limite lateral.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita em x=3. Para x\ge3 vale f(x)=2x. Como 2x é contínuo, o limite pela direita é
\lim_{x\to3^+} f(x)=\lim_{x\to3^+} 2x=2\cdot 3=6.
Novamente substituímos x=3 na expressão válida à direita.
Passo 5
Valor da função em x=3. Pela definição a segunda linha vale para x\ge3, então
f(3)=2\cdot 3=6.
Observação: o valor da função coincide com o limite pela direita (ambos 6), mas difere do limite pela esquerda (que foi 8).
Passo 6
Continuidade em x=3. Recordando a definição: f é contínua em x=3 se e somente se \lim_{x\to3} f(x) existe e é igual a f(3). Para o limite existir é necessário que os limites laterais sejam iguais:
\lim_{x\to3^-} f(x)=\lim_{x\to3^+} f(x).
Aqui encontramos \lim_{x\to3^-} f(x)=8 e \lim_{x\to3^+} f(x)=6. Como 8\neq6, o limite \lim_{x\to3} f(x) não existe. Conclusão: f é descontinua em x=3. Tipo de descontinuidade: é uma descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity), porque os limites laterais existem mas são diferentes.
Passo 7
Derivada para x\neq3. Para pontos onde a função é dada por uma expressão polinomial num intervalo aberto, podemos derivar normalmente:
Para x<3, f(x)=x^{2}-1 e
f'(x)=2x\quad\text{para }x<3.
Para x>3, f(x)=2x e
f'(x)=2\quad\text{for }x>3.
Essas são derivadas usuais de polinômios e de uma função linear.
Passo 8
Diferenciabilidade em x=3. Para que f seja diferenciável em x=3 é necessário (entre outras coisas) que f seja contínua em 3. Já vimos que f é descontinua em 3; portanto f não é diferenciável em 3. Podemos também ver isso pelos derivadas laterais: a derivada à esquerda em 3 (avaliando 2x em x=3) é 2\cdot 3=6, enquanto a derivada à direita é 2. Como 6\neq2, as derivadas laterais diferem — outro motivo que confirma que f'(3) não existe.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to3^-} f(x)=8\)
\(\displaystyle \lim_{x\to3^+} f(x)=6\)
\(f(3)=6\)
\(f\) é descontinua em \(x=3\) (descontinuidade de salto).
\[f'(x)=\begin{cases} 2x, & x<3,\\[4pt] 2, & x>3, \end{cases}
e f'(3)\] não existe (ou seja, \(f não é diferenciável em x=3).]