Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x cresce sem bound:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}.
Informações dadas:
A expressão é \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^{x} com x\to\infty.
Quer-se o valor numérico (se existir) desse limite.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a base da potência de forma mais conveniente. Note que
\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}.
Portanto a expressão original pode ser escrita como
Para lidar com potências cujo expoente também tende a infinito, uma técnica padrão é tomar o logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo e depois expôr com a função exponencial (que é contínua). Assim, se definirmos
y(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{-x},
então vamos estudar \ln y(x) e, ao final, teremos y(x)=\mathrm{e}^{\ln y(x)}.
Passo 4
Calculemos o logaritmo:
\ln y(x)=-x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right).
O objetivo agora é achar
\lim_{x\to\infty}\ln y(x).
Passo 5
Faça a mudança de variável u=\dfrac{1}{x}. Quando x\to\infty tem-se u\to 0^{+}. Reescrevendo o limite em termos de u:
Este é um limite clássico. Podemos avaliá-lo usando a Regra de L’Hôpital (situação 0/0): as derivadas do numerador e do denominador são, respectivamente, \dfrac{d}{du}\ln(1+u)=\dfrac{1}{1+u} e \dfrac{d}{du}u=1. Aplicando L’Hôpital obtemos
Como a função exponencial é contínua, o limite da função original é
\lim_{x\to\infty} y(x)=\mathrm{e}^{\,-1}.
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: \mathrm{e}^{-1}=1/\mathrm{e} é um número entre 0 e 1, consistente com a base x/(x+1)<1 e o expoente grande e positivo — a expressão tende a um número positivo menor que 1.