Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x cresce sem bound:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^{x} com x\to\infty.
  • Quer-se o valor numérico (se existir) desse limite.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a base da potência de forma mais conveniente. Note que
\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}.
Portanto a expressão original pode ser escrita como
\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}=\left(\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}\right)^{x}=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{-x}.

Passo 3

Para lidar com potências cujo expoente também tende a infinito, uma técnica padrão é tomar o logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo e depois expôr com a função exponencial (que é contínua). Assim, se definirmos
y(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{-x},
então vamos estudar \ln y(x) e, ao final, teremos y(x)=\mathrm{e}^{\ln y(x)}.

Passo 4

Calculemos o logaritmo:
\ln y(x)=-x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right).
O objetivo agora é achar
\lim_{x\to\infty}\ln y(x).

Passo 5

Faça a mudança de variável u=\dfrac{1}{x}. Quando x\to\infty tem-se u\to 0^{+}. Reescrevendo o limite em termos de u:
\ln y(x)=-x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=-\frac{\ln(1+u)}{u}, \quad\text{com }u\to 0^{+}.

Passo 6

Agora precisamos do limite
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Este é um limite clássico. Podemos avaliá-lo usando a Regra de L’Hôpital (situação 0/0): as derivadas do numerador e do denominador são, respectivamente, \dfrac{d}{du}\ln(1+u)=\dfrac{1}{1+u} e \dfrac{d}{du}u=1. Aplicando L’Hôpital obtemos
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{1}{1+u}=\frac{1}{1+0}=1.
(Interpretação rápida: para u muito pequeno, \ln(1+u) é aproximadamente u, então a razão tende a 1.)

Passo 7

Voltando ao \ln y, a conclusão do passo anterior dá
\lim_{x\to\infty}\ln y(x)=-\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=-1.
Como a função exponencial é contínua, o limite da função original é
\lim_{x\to\infty} y(x)=\mathrm{e}^{\,-1}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: \mathrm{e}^{-1}=1/\mathrm{e} é um número entre 0 e 1, consistente com a base x/(x+1)<1 e o expoente grande e positivo — a expressão tende a um número positivo menor que 1.

Resposta

\mathrm{e}^{-1}

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